ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 28 / вариант 1 - 8

Найдем значение выражения $3 \operatorname{tg} 15^\circ$. 1. Представим угол $15^\circ$ как разность табличных углов: $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$. 2. Применим формулу тангенса разности двух углов: $$ \operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta} $$ Подставим значения $\alpha = 45^\circ$ и $\beta = 30^\circ$: $$ \operatorname{tg} 15^\circ = \operatorname{tg}(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\operatorname{tg} 45^\circ - \operatorname{tg} 30^\circ}{1 + \operatorname{tg} 45^\circ \cdot \operatorname{tg} 30^\circ} $$ 3. Так как $\operatorname{tg} 45^\circ = 1$, а $\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$, получаем: $$ \operatorname{tg} 15^\circ = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} $$ Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3 - \sqrt{3})$: $$ \operatorname{tg} 15^\circ = \frac{(3 - \sqrt{3})^2}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})} = \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{12 - 6\sqrt{3}}{9 - 3} = \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3} $$ 4. Вычислим исходное выражение: $$ 3 \operatorname{tg} 15^\circ = 3 \cdot (2 - \sqrt{3}) = 6 - 3\sqrt{3} $$ Ответ: $6 - 3\sqrt{3}$.