ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 26 / вариант 1 - 5

Докажем тождество: $$ \frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{ctg} \alpha} = \sin \alpha \cos \alpha $$ Для доказательства преобразуем левую часть равенства. 1. Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус в знаменателе: $$ \operatorname{tg} \alpha - \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $$ 2. Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю $\sin \alpha \cos \alpha$: $$ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} $$ 3. Подставим полученное выражение обратно в исходную дробь: $$ \frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{ctg} \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}} $$ 4. Заменим деление на дробь умножением на обратную дробь: $$ (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) \cdot \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha} = \sin \alpha \cos \alpha $$ Левая часть тождества равна правой части при всех допустимых значениях $\alpha$ (где $\sin \alpha \neq 0$, $\cos \alpha \neq 0$ и $\sin^2 \alpha \neq \cos^2 \alpha$). Тождество доказано.