ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 25 / вариант 1 - 13

**13.** **4)** Упростим выражение: $$\frac{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \sin^4 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha - 1}$$ 1. Преобразуем числитель дроби, вынеся общий множитель $\sin^2 \alpha$ за скобки: $$\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \sin^4 \alpha = \sin^2 \alpha (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)$$ Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем: $$\sin^2 \alpha \cdot 1 = \sin^2 \alpha$$ 2. Преобразуем знаменатель дроби, вынеся общий множитель $\cos^2 \alpha$ из первых двух слагаемых: $$\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha - 1 = \cos^2 \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - 1 = \cos^2 \alpha \cdot 1 - 1 = \cos^2 \alpha - 1$$ Так как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, то $\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$. 3. Подставим упрощённые выражения числителя и знаменателя в исходную дробь: $$\frac{\sin^2 \alpha}{-\sin^2 \alpha} = -1 \quad (\text{при } \sin \alpha \neq 0)$$ *(Примечание: если число $4$ перед дробью является множителем, а не номером пункта, то значение выражения равно $4 \cdot (-1) = -4$).* Ответ: $-1$ (или $-4$, если $4$ — коэффициент перед дробью).