ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 23 / вариант 2 - 31

Центром правильного треугольника, вписанного в единичную окружность с центром в начале координат $O(0; 0)$, является точка $O$. Вершины правильного треугольника делят окружность на три равные дуги, градусная мера каждой из которых равна: $$ \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ \quad \left(\text{или } \frac{2\pi}{3}\text{ рад}\right) $$ Пусть $A(0; 1)$ — данная вершина треугольника. На единичной окружности этой точке соответствует угол поворота: $$ \alpha_1 = 90^\circ = \frac{\pi}{2} $$ Тогда остальные две вершины $B$ и $C$ получаются поворотом точки $A$ вокруг начала координат на углы $+120^\circ$ и $-120^\circ$ (или $+240^\circ$): 1. Для вершины $B$: угол поворота равен $$ \alpha_2 = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} \quad (210^\circ) $$ Координаты точки $B(x_2; y_2)$: $$ x_2 = \cos\frac{7\pi}{6} = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$ $$ y_2 = \sin\frac{7\pi}{6} = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2} $$ Таким образом, $B\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right)$. 2. Для вершины $C$: угол поворота равен $$ \alpha_3 = \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} \quad (-30^\circ \text{ или } 330^\circ) $$ Координаты точки $C(x_3; y_3)$: $$ x_3 = \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ $$ y_3 = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2} $$ Таким образом, $C\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right)$. Ответ: $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right)$ и $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2}\right)$.