ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 32 / вариант 2 - 28

28. Найдем значение тригонометрического выражения: $$ \operatorname{tg} 10^\circ \operatorname{tg} 20^\circ + \operatorname{tg} 20^\circ \operatorname{tg} 60^\circ + \operatorname{tg} 60^\circ \operatorname{tg} 10^\circ $$ Заметим, что сумма углов $10^\circ$ и $20^\circ$ равна $30^\circ$: $$ 10^\circ + 20^\circ = 30^\circ $$ Применим формулу тангенса суммы углов $\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \dfrac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}\beta}$: $$ \operatorname{tg}(10^\circ + 20^\circ) = \frac{\operatorname{tg} 10^\circ + \operatorname{tg} 20^\circ}{1 - \operatorname{tg} 10^\circ \operatorname{tg} 20^\circ} $$ С другой стороны: $$ \operatorname{tg}(10^\circ + 20^\circ) = \operatorname{tg} 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} $$ Так как $\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$, то $\operatorname{tg} 30^\circ = \dfrac{1}{\operatorname{tg} 60^\circ}$. Приравняем полученные выражения: $$ \frac{\operatorname{tg} 10^\circ + \operatorname{tg} 20^\circ}{1 - \operatorname{tg} 10^\circ \operatorname{tg} 20^\circ} = \frac{1}{\operatorname{tg} 60^\circ} $$ Используя свойство пропорции, перемножим крайние и средние члены: $$ \operatorname{tg} 60^\circ (\operatorname{tg} 10^\circ + \operatorname{tg} 20^\circ) = 1 - \operatorname{tg} 10^\circ \operatorname{tg} 20^\circ $$ Раскроем скобки в левой части равенства: $$ \operatorname{tg} 60^\circ \operatorname{tg} 10^\circ + \operatorname{tg} 60^\circ \operatorname{tg} 20^\circ = 1 - \operatorname{tg} 10^\circ \operatorname{tg} 20^\circ $$ Перенесем слагаемое $-\operatorname{tg} 10^\circ \operatorname{tg} 20^\circ$ в левую часть равенства с противоположным знаком: $$ \operatorname{tg} 10^\circ \operatorname{tg} 20^\circ + \operatorname{tg} 20^\circ \operatorname{tg} 60^\circ + \operatorname{tg} 60^\circ \operatorname{tg} 10^\circ = 1 $$ Ответ: 1