ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 32 / вариант 1 - 22

$22.\;8)$ Преобразуем тригонометрическое выражение: $$\sin 3\alpha \cos 4\alpha - \sin \alpha \cos 2\alpha$$ Применим формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: $$\sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x + y) + \sin(x - y))$$ Преобразуем каждое произведение отдельно, учитывая нечётность синуса $\sin(-\varphi) = -\sin\varphi$: 1) Для первого слагаемого: $$\sin 3\alpha \cos 4\alpha = \frac{1}{2}(\sin(3\alpha + 4\alpha) + \sin(3\alpha - 4\alpha)) = \frac{1}{2}(\sin 7\alpha + \sin(-\alpha)) = \frac{1}{2}(\sin 7\alpha - \sin \alpha)$$ 2) Для второго слагаемого: $$\sin \alpha \cos 2\alpha = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + 2\alpha) + \sin(\alpha - 2\alpha)) = \frac{1}{2}(\sin 3\alpha + \sin(-\alpha)) = \frac{1}{2}(\sin 3\alpha - \sin \alpha)$$ Подставим полученные выражения в исходную разность: $$\sin 3\alpha \cos 4\alpha - \sin \alpha \cos 2\alpha = \frac{1}{2}(\sin 7\alpha - \sin \alpha) - \frac{1}{2}(\sin 3\alpha - \sin \alpha)$$ Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки и приведём подобные слагаемые: $$\frac{1}{2}(\sin 7\alpha - \sin \alpha - \sin 3\alpha + \sin \alpha) = \frac{1}{2}(\sin 7\alpha - \sin 3\alpha)$$ Применим формулу разности синусов $\sin x - \sin y = 2 \sin\frac{x - y}{2} \cos\frac{x + y}{2}$: $$\frac{1}{2}(\sin 7\alpha - \sin 3\alpha) = \frac{1}{2} \cdot 2 \sin\frac{7\alpha - 3\alpha}{2} \cos\frac{7\alpha + 3\alpha}{2} = \sin 2\alpha \cos 5\alpha$$ Ответ: $\sin 2\alpha \cos 5\alpha$ (или $\frac{1}{2}(\sin 7\alpha - \sin 3\alpha)$).