ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 32 / вариант 1 - 21

21. $\boxed{7}$ Преобразуем сумму тригонометрических функций в произведение. Сгруппируем слагаемые: $$ (\sin 5\alpha + \sin 7\alpha) + (\sin 6\alpha + \sin 8\alpha) $$ Применим к каждой скобке формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}$, а также свойство четности косинуса $\cos(-x) = \cos x$: $$ \sin 5\alpha + \sin 7\alpha = 2 \sin \frac{5\alpha + 7\alpha}{2} \cos \frac{5\alpha - 7\alpha}{2} = 2 \sin 6\alpha \cos(-\alpha) = 2 \sin 6\alpha \cos \alpha $$ $$ \sin 6\alpha + \sin 8\alpha = 2 \sin \frac{6\alpha + 8\alpha}{2} \cos \frac{6\alpha - 8\alpha}{2} = 2 \sin 7\alpha \cos(-\alpha) = 2 \sin 7\alpha \cos \alpha $$ Подставим полученные выражения и вынесем общий множитель $2 \cos \alpha$ за скобки: $$ 2 \sin 6\alpha \cos \alpha + 2 \sin 7\alpha \cos \alpha = 2 \cos \alpha (\sin 6\alpha + \sin 7\alpha) $$ Снова применим формулу суммы синусов для выражения в скобках: $$ \sin 6\alpha + \sin 7\alpha = 2 \sin \frac{6\alpha + 7\alpha}{2} \cos \frac{6\alpha - 7\alpha}{2} = 2 \sin \frac{13\alpha}{2} \cos\left(-\frac{\alpha}{2}\right) = 2 \sin \frac{13\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} $$ Перемножим множители: $$ 2 \cos \alpha \cdot 2 \sin \frac{13\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} = 4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \alpha \sin \frac{13\alpha}{2} $$ Ответ: $4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \alpha \sin \frac{13\alpha}{2}$