ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 32 / вариант 1 - 20

Преобразуем данное выражение в произведение с помощью тригонометрических формул. *(Примечание: в оригинальном издании символ «6» в начале строки обозначает пункт **б)** задания № 20: $\cos 2\alpha - \cos 3\alpha - \cos 4\alpha + \cos 5\alpha$)*. Перепишем выражение, сгруппировав слагаемые: $$ \cos 2\alpha - \cos 3\alpha - \cos 4\alpha + \cos 5\alpha = (\cos 5\alpha + \cos 2\alpha) - (\cos 4\alpha + \cos 3\alpha) $$ ### Шаг 1. Применение формулы суммы косинусов Воспользуемся формулой суммы косинусов: $$ \cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2} $$ 1. Для первой группы: $$ \cos 5\alpha + \cos 2\alpha = 2 \cos \frac{5\alpha + 2\alpha}{2} \cos \frac{5\alpha - 2\alpha}{2} = 2 \cos \frac{7\alpha}{2} \cos \frac{3\alpha}{2} $$ 2. Для второй группы: $$ \cos 4\alpha + \cos 3\alpha = 2 \cos \frac{4\alpha + 3\alpha}{2} \cos \frac{4\alpha - 3\alpha}{2} = 2 \cos \frac{7\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} $$ ### Шаг 2. Вынесение общего множителя Подставим полученные произведения в выражение: $$ 2 \cos \frac{7\alpha}{2} \cos \frac{3\alpha}{2} - 2 \cos \frac{7\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} $$ Вынесем общий множитель $2 \cos \frac{7\alpha}{2}$ за скобки: $$ 2 \cos \frac{7\alpha}{2} \left( \cos \frac{3\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha}{2} \right) $$ ### Шаг 3. Применение формулы разности косинусов Воспользуемся формулой разности косинусов: $$ \cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2} $$ Преобразуем выражение в скобках: $$ \cos \frac{3\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha}{2} = -2 \sin \frac{\frac{3\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2}}{2} \sin \frac{\frac{3\alpha}{2} - \frac{\alpha}{2}}{2} = -2 \sin \alpha \sin \frac{\alpha}{2} $$ ### Шаг 4. Окончательное упрощение Перемножим все множители: $$ 2 \cos \frac{7\alpha}{2} \cdot \left( -2 \sin \alpha \sin \frac{\alpha}{2} \right) = -4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \alpha \cos \frac{7\alpha}{2} $$ --- *(Если же число $6$ задано как коэффициент при первом слагаемом, то выражение $6\cos 2\alpha - \cos 3\alpha - \cos 4\alpha + \cos 5\alpha$ не раскладывается на множители в виде произведения тригонометрических функций; его можно лишь частично преобразовать:* $$ 6\cos 2\alpha - \cos 4\alpha + (\cos 5\alpha - \cos 3\alpha) = 6\cos 2\alpha - \cos 4\alpha - 2\sin 4\alpha \sin \alpha $$ *что подтверждает опечатку в условии вместо пункта **б)**).* Ответ: $-4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \alpha \cos \frac{7\alpha}{2}$