ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / уравнения и неравенства / вариант 1 - 16

16. Решим неравенство: $$ \frac{|x+4|}{|x+6|-2} > 1 $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $$ |x+6| - 2 \neq 0 \iff |x+6| \neq 2 $$ $$ \begin{cases} x + 6 \neq 2, \\ x + 6 \neq -2; \end{cases} \iff \begin{cases} x \neq -4, \\ x \neq -8. \end{cases} $$ Перенесем единицу в левую часть неравенства и приведем к общему знаменателю: $$ \frac{|x+4|}{|x+6|-2} - 1 > 0 $$ $$ \frac{|x+4| - (|x+6|-2)}{|x+6|-2} > 0 $$ $$ \frac{|x+4| - |x+6| + 2}{|x+6|-2} > 0 $$ Подмодульные выражения обращаются в ноль в точках $x = -6$ и $x = -4$. Рассмотрим знаки выражений на интервалах, на которые эти точки делят числовую прямую: 1) При $x < -6$: $x+4 < 0 \implies |x+4| = -(x+4) = -x - 4$ $x+6 < 0 \implies |x+6| = -(x+6) = -x - 6$ Подставим эти раскрытия в неравенство: $$ \frac{(-x-4) - (-x-6) + 2}{(-x-6) - 2} > 0 $$ $$ \frac{-x - 4 + x + 6 + 2}{-x - 8} > 0 $$ $$ \frac{4}{-x - 8} > 0 $$ Так как числитель положителен ($4 > 0$), дробь больше нуля тогда и только тогда, когда знаменатель положителен: $$ -x - 8 > 0 \iff x < -8 $$ С учетом условия промежутка $x < -6$ получаем: $x \in (-\infty; -8)$. 2) При $-6 \le x < -4$: $x+4 < 0 \implies |x+4| = -x - 4$ $x+6 \ge 0 \implies |x+6| = x + 6$ Подставим в неравенство: $$ \frac{(-x-4) - (x+6) + 2}{(x+6) - 2} > 0 $$ $$ \frac{-2x - 8}{x + 4} > 0 $$ Вынесем $-2$ в числителе за скобки: $$ \frac{-2(x+4)}{x+4} > 0 $$ Так как на данном интервале $x \neq -4$, сократим дробь на $(x+4)$: $$ -2 > 0 $$ Полученное числовое неравенство неверно, следовательно, на данном промежутке решений нет. 3) При $x > -4$: $x+4 > 0 \implies |x+4| = x + 4$ $x+6 > 0 \implies |x+6| = x + 6$ Подставим в неравенство: $$ \frac{(x+4) - (x+6) + 2}{(x+6) - 2} > 0 $$ $$ \frac{x + 4 - x - 6 + 2}{x + 4} > 0 $$ $$ \frac{0}{x+4} > 0 \iff 0 > 0 $$ Неравенство неверно, поэтому при $x > -4$ решений нет. Объединяя результаты со всех рассмотренных промежутков, получаем: $x < -8$. Ответ: $x \in (-\infty; -8)$