ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 20 / вариант 2 - 10

10. В дидактических материалах цифра 4 перед логарифмом обозначает номер общего задания (задание 4, пункт 10). Решим логарифмическое неравенство: $$ \log_{3}(x^2 - x + 3) < 2 $$ **1. Область допустимых значений (ОДЗ)** Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть строго больше нуля: $$ x^2 - x + 3 > 0 $$ Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11 $$ Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), а старший коэффициент положителен ($a = 1 > 0$), график функции $y = x^2 - x + 3$ — парабола с ветвями, направленными вверх, которая не пересекает ось $Ox$. Значит, неравенство $x^2 - x + 3 > 0$ выполняется при любых действительных значениях переменной: $$ x \in (-\infty; +\infty) $$ **2. Решение неравенства** Представим число $2$ в правой части в виде логарифма по основанию $3$: $$ 2 = \log_{3}(3^2) = \log_{3} 9 $$ Неравенство принимает вид: $$ \log_{3}(x^2 - x + 3) < \log_{3} 9 $$ Так как основание логарифма $3 > 1$, функция $y = \log_{3} t$ является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется при переходе к подлогарифмическим выражениям: $$ x^2 - x + 3 < 9 $$ Перенесем все члены в левую часть: $$ x^2 - x + 3 - 9 < 0 $$ $$ x^2 - x - 6 < 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 6 = 0$ по теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 1 \\ x_1 \cdot x_2 = -6 \end{cases} \implies x_1 = -2, \quad x_2 = 3 $$ Разложим квадратный трехчлен на множители: $$ (x + 2)(x - 3) < 0 $$ Так как ветви параболы направлены вверх, выражение принимает отрицательные значения строго между корнями: $$ -2 < x < 3 $$ **3. Учет ОДЗ** С учетом ОДБ ($x \in \mathbb{R}$) получаем: $$ x \in (-2; 3) $$ *(Примечание: если число 4 в условии считать числовым коэффициентом перед логарифмом, то неравенство приводится к виду $\log_{3}(x^2 - x + 3) < \frac{1}{2}$, откуда $x^2 - x + 3 < \sqrt{3}$ или $x^2 - x + (3 - \sqrt{3}) < 0$. Дискриминант данного трехчлена $D = 4\sqrt{3} - 11 < 0$, и неравенство не имеет решений).* Ответ: $(-2; 3)$