ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 20 / вариант 1 - 19

19. (4) Решим неравенство: $$ \log_{0,8}(2x - 4) \leqslant \log_{0,8}(3x - 5) $$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения, стоящие под знаком логарифма, должны быть строго больше нуля: $$ \begin{cases} 2x - 4 > 0 \\ 3x - 5 > 0 \end{cases} $$ Решим каждое неравенство системы: $$ \begin{cases} 2x > 4 \\ 3x > 5 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > \dfrac{5}{3} \end{cases} $$ Так как $2 > 1\dfrac{2}{3}$, пересечением условий является: $$ x > 2 $$ 2. Решим логарифмическое неравенство. Основание логарифма $a = 0,8$ удовлетворяет условию $0 < 0,8 < 1$, следовательно, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный: $$ 2x - 4 \geqslant 3x - 5 $$ Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а свободные члены — в правую: $$ 2x - 3x \geqslant -5 + 4 $$ $$ -x \geqslant -1 $$ Разделим обе части на $-1$, изменив знак неравенства: $$ x \leqslant 1 $$ 3. Найдем общее решение с учетом ОДЗ, составив систему: $$ \begin{cases} x \leqslant 1 \\ x > 2 \end{cases} $$ Множества $(-\infty; 1]$ и $(2; +\infty)$ не имеют общих точек, следовательно, система не имеет решений. Ответ: решений нет.