ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 20 / вариант 1 - 21

Решим логарифмическое неравенство: $$ \log_{4}(x+6) \le 2\log_{4}x $$ **1. Область допустимых значений (ОДЗ):** Выражения, стоящие под знаком логарифма, должны быть строго положительными: $$ \begin{cases} x + 6 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > -6 \\ x > 0 \end{cases} \iff x > 0 $$ Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; +\infty)$. **2. Преобразование и решение неравенства:** Используем свойство логарифма $r \log_a b = \log_a b^r$: $$ \log_{4}(x+6) \le \log_{4}x^2 $$ Так как основание логарифма $4 > 1$, логарифмическая функция возрастает, и знак неравенства при переходе к подлогарифмическим выражениям сохраняется: $$ x + 6 \le x^2 $$ Перенесём все слагаемые в правую часть: $$ x^2 - x - 6 \ge 0 $$ Найдём нули квадратного трёхчлена $x^2 - x - 6 = 0$ с помощью теоремы Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 1 \\ x_1 \cdot x_2 = -6 \end{cases} \implies x_1 = -2, \quad x_2 = 3 $$ Разложим левую часть на множители: $$ (x + 2)(x - 3) \ge 0 $$ Решением квадратного неравенства являются промежутки: $$ x \in (-\infty; -2] \cup [3; +\infty) $$ **3. Учёт ОДЗ:** Пересечём полученное решение с областью допустимых значений: $$ \begin{cases} x \in (-\infty; -2] \cup [3; +\infty) \\ x > 0 \end{cases} \iff x \in [3; +\infty) $$ Ответ: $[3; +\infty)$.