ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 19 / вариант 2 - 4

**4.** Решим уравнение: $$ \log_{5}(x^2 - 5x + 6) - \log_{5}(x - 2) = 1 $$ **1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):** Выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными: $$ \begin{cases} x^2 - 5x + 6 > 0, \\ x - 2 > 0 \end{cases} $$ Разложим квадратный трёхчлен на множители: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$. $$ \begin{cases} (x - 2)(x - 3) > 0, \\ x > 2 \end{cases} $$ Так как $x - 2 > 0$, разделим первое неравенство на $(x - 2)$: $$ \begin{cases} x - 3 > 0, \\ x > 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3, \\ x > 2 \end{cases} \implies x > 3 $$ Таким образом, ОДЗ: $x \in (3; +\infty)$. **2. Преобразуем уравнение:** Используем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$: $$ \log_{5}\left(\frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2}\right) = 1 $$ Подставим разложение числителя на множители: $$ \log_{5}\left(\frac{(x - 2)(x - 3)}{x - 2}\right) = 1 $$ Сократим дробь на $(x - 2)$, так как на ОДЗ $x - 2 \neq 0$: $$ \log_{5}(x - 3) = 1 $$ По определению логарифма: $$ x - 3 = 5^1 $$ $$ x - 3 = 5 $$ $$ x = 8 $$ **3. Проверка:** Корень $x = 8$ удовлетворяет условию ОДЗ ($8 > 3$). Ответ: $8$