ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 19 / вариант 1 - 13

13. 5) Решим логарифмическое уравнение: $$ \log_4 (x^3 - x) - \log_4 x = \log_4 3 $$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x^3 - x > 0, \\ x > 0 \end{cases} $$ Разложим на множители первое неравенство: $$ x(x - 1)(x + 1) > 0 $$ По методу интервалов решением первого неравенства является: $x \in (-1; 0) \cup (1; +\infty)$. Пересечем с условием $x > 0$: $$ x \in (1; +\infty) $$ 2. Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$: $$ \log_4 \left(\frac{x^3 - x}{x}\right) = \log_4 3 $$ Вынесем общий множитель $x$ в числителе дроби: $$ \log_4 \left(\frac{x(x^2 - 1)}{x}\right) = \log_4 3 $$ Так как $x \neq 0$ на ОДЗ, сократим дробь на $x$: $$ \log_4 (x^2 - 1) = \log_4 3 $$ Потенцируя обе части уравнения, получаем: $$ x^2 - 1 = 3 $$ $$ x^2 = 4 $$ $$ x_1 = 2, \quad x_2 = -2 $$ 3. Проверим полученные корни по ОДЗ ($x > 1$): — корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 > 1$; — значение $x_2 = -2$ не входит в ОДЗ, так как $-2 < 1$. Ответ: $2$