ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 17 / вариант 1 - 15

В дидактических материалах Шабунина число $3$ перед уравнением указывает на балл за задание — $[3]$, а само уравнение варианта 1 имеет вид: $$\log_{3} x = 3 \log_{3} 2 + 4 \log_{9} 5$$ ### Решение уравнения из сборника: 1. **Область допустимых значений (ОДЗ):** Под знаком логарифма должно стоять положительное число: $$x > 0$$ 2. **Преобразование правой части уравнения:** Используем свойства логарифмов: - Внесем множитель в показатель степени аргумента ($n \log_a b = \log_a b^n$): $$3 \log_{3} 2 = \log_{3} 2^3 = \log_{3} 8$$ - Перейдем во втором слагаемом к основанию $3$, воспользовавшись формулой $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$: $$4 \log_{9} 5 = 4 \log_{3^2} 5 = 4 \cdot \frac{1}{2} \log_{3} 5 = 2 \log_{3} 5 = \log_{3} 5^2 = \log_{3} 25$$ - Сложим полученные логарифмы по свойству $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$: $$\log_{3} 8 + \log_{3} 25 = \log_{3} (8 \cdot 25) = \log_{3} 200$$ 3. **Нахождение корня:** Подставим полученное выражение в уравнение: $$\log_{3} x = \log_{3} 200$$ Так как основания логарифмов равны, приравниваем подлогарифмические выражения: $$x = 200$$ Проверим ОДЗ: $200 > 0$ — верно. **Ответ:** $200$ --- *Примечание.* Если тройка перед $\log_{3} x$ задана как числовой коэффициент уравнения ($3 \log_{3} x = 3 \log_{3} 2 + 4 \log_{9} 5$): $$3 \log_{3} x = \log_{3} 200$$ $$\log_{3} x^3 = \log_{3} 200$$ $$x^3 = 200$$ $$x = \sqrt[3]{200}$$ Корень $x = \sqrt[3]{200}$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$). В этом случае **ответ:** $\sqrt[3]{200}$.