ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 15 / вариант 1 - 9

Вычислим значение выражения: $$4^{\log_{\frac{1}{4}} 8}$$ 1. Сначала найдем значение логарифма в показателе степени. Для этого представим основание и подлогарифмическое выражение в виде степеней с основанием $2$: $$\frac{1}{4} = 2^{-2}$$ $$8 = 2^3$$ Используя свойство логарифма $\log_{a^n} (b^m) = \frac{m}{n} \log_a b$, получаем: $$\log_{\frac{1}{4}} 8 = \log_{2^{-2}} (2^3) = -\frac{3}{2} \log_2 2$$ Так как $\log_2 2 = 1$: $$\log_{\frac{1}{4}} 8 = -\frac{3}{2}$$ 2. Подставим найденное значение показателя в исходное выражение и применим свойства степеней: $$4^{\log_{\frac{1}{4}} 8} = 4^{-\frac{3}{2}} = (2^2)^{-\frac{3}{2}} = 2^{2 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$$ *(Примечание: если в условии записано произведение $4 \log_{\frac{1}{4}} 8$, то его значение равно $4 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -6$)*. Ответ: $\frac{1}{8}$ (или $0{,}125$).