ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 15 / вариант 1 - 12

12. Вычислим значение выражения $$ \log_{\frac{\sqrt{6}}{2}}^4\frac{8}{27} $$ Запись $\log_a^4 b$ означает $(\log_a b)^4$. Сначала найдём значение логарифма: $$ \log_{\frac{\sqrt{6}}{2}}\frac{8}{27} $$ 1. Преобразуем основание логарифма к основанию $\frac{2}{3}$: $$ \frac{\sqrt{6}}{2} = \sqrt{\frac{6}{4}} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{2}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-\frac{1}{2}} $$ 2. Представим подлогарифмическое выражение в виде степени с тем же основанием $\frac{2}{3}$: $$ \frac{8}{27} = \left(\frac{2}{3}\right)^3 $$ 3. Используем свойство логарифма $\log_{a^k} (a^m) = \frac{m}{k}$: $$ \log_{\frac{\sqrt{6}}{2}}\frac{8}{27} = \log_{\left(\frac{2}{3}\right)^{-\frac{1}{2}}} \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{3}{-\frac{1}{2}} = 3 \cdot (-2) = -6 $$ 4. Возведём полученный результат в четвёртую степень: $$ \left(\log_{\frac{\sqrt{6}}{2}}\frac{8}{27}\right)^4 = (-6)^4 = 1296 $$ Ответ: $1296$