ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / § 15 / вариант 1 - 21

**21. 4)** Требуется найти область определения функции (выражения) $\log_{9}(x^2 + 3x + 9)$ (или $4\log_{9}(x^2 + 3x + 9)$). Логарифмическое выражение определено тогда и только тогда, когда выражение, стоящее под знаком логарифма, строго больше нуля: $$ x^2 + 3x + 9 > 0 $$ Числовой множитель перед знаком логарифма на область определения не влияет. Решим полученное квадратное неравенство. Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 + 3x + 9$: $$ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27 $$ Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), а старший коэффициент положителен ($a = 1 > 0$), парабола $y = x^2 + 3x + 9$ направлена ветвями вверх и не пересекает ось абсцисс, то есть целиком лежит выше оси $Ox$. Это также можно показать выделением полного квадрата: $$ x^2 + 3x + 9 = \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{27}{4} > 0 \quad \text{при всех } x \in \mathbb{R} $$ Следовательно, неравенство $x^2 + 3x + 9 > 0$ верно при любых действительных значениях $x$. Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$