ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / § 13 / вариант 1 - 9

Рассмотрим функции, стоящие в левой и правой частях неравенства: $$ f(x) = 2^x \quad \text{и} \quad g(x) = 12 - x^3 $$ 1. Исследуем функции на монотонность на множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$: - Функция $f(x) = 2^x$ является показательной с основанием $2 > 1$, следовательно, она строго возрастает на $\mathbb{R}$. - Функция $g(x) = 12 - x^3$ является строго убывающей на $\mathbb{R}$, так как функция $y = x^3$ строго возрастает, а коэффициент перед $x^3$ отрицательный. 2. Найдем точку пересечения графиков этих функций, решив уравнение $2^x = 12 - x^3$: Подбором находим значение $x = 2$: $$ f(2) = 2^2 = 4 $$ $$ g(2) = 12 - 2^3 = 12 - 8 = 4 $$ Так как $f(2) = g(2) = 4$, число $x = 2$ является корнем уравнения. Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, корень уравнения единственный. 3. Сравним значения функций: - При $x \leqslant 2$ в силу монотонности получаем: $f(x) \leqslant f(2) = 4$ и $g(x) \geqslant g(2) = 4$, откуда следует, что $f(x) \leqslant g(x)$, то есть $2^x \leqslant 12 - x^3$. - При $x > 2$: $f(x) > f(2) = 4$ и $g(x) < g(2) = 4$, откуда следует, что $f(x) > g(x)$, то есть неравенство не выполняется. Таким образом, решением неравенства являются все значения $x \leqslant 2$. Ответ: $x \in (-\infty; 2]$.