ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / § 13 / вариант 1 - 7

7. Решим уравнение: $$ \left( \frac{1}{2} \right)^x = x^3 + 3 $$ Рассмотрим функции, стоящие в левой и правой частях уравнения: $f(x) = \left( \frac{1}{2} \right)^x$ и $g(x) = x^3 + 3$. 1. Функция $f(x) = \left( \frac{1}{2} \right)^x$ является показательной с основанием $0 < \frac{1}{2} < 1$, следовательно, она строго убывает на всей области определения $\mathbb{R}$. 2. Функция $g(x) = x^3 + 3$ является строго возрастающей на всей числовой прямой $\mathbb{R}$ как сумма возрастающей функции $y = x^3$ и константы. 3. Так как одна из функций строго убывает, а другая строго возрастает на $\mathbb{R}$, уравнение $f(x) = g(x)$ может иметь не более одного действительного корня. 4. Подбором найдем значение $x$, при котором равенство обращается в верное: при $x = -1$: $$ f(-1) = \left( \frac{1}{2} \right)^{-1} = 2 $$ $$ g(-1) = (-1)^3 + 3 = -1 + 3 = 2 $$ Получили верное равенство $2 = 2$. Значит, число $-1$ является корнем данного уравнения. В силу строгой монотонности функций других корней уравнение не имеет. Ответ: $-1$.