ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 3 / § 13 / вариант 1 - 4

Решим показательное неравенство: $$4^x + 2^{x+1} - 80 < 0$$ Преобразуем степени с основанием $2$: - $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ - $2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x$ Перепишем неравенство в виде: $$(2^x)^2 + 2 \cdot 2^x - 80 < 0$$ Введём замену переменной: пусть $t = 2^x$, причём $t > 0$. Получаем квадратное неравенство: $$t^2 + 2t - 80 < 0$$ Найдём корни квадратного трёхчлена $t^2 + 2t - 80$: $$t^2 + 2t - 80 = 0$$ $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324 = 18^2$$ $$t_1 = \frac{-2 + 18}{2} = 8$$ $$t_2 = \frac{-2 - 18}{2} = -10$$ Разложим левую часть на множители: $$(t - 8)(t + 10) < 0$$ Решением этого неравенства является интервал: $$-10 < t < 8$$ С учётом ограничения $t > 0$ получаем: $$0 < t < 8$$ Выполним обратную замену: $$0 < 2^x < 8$$ Неравенство $2^x > 0$ выполняется при любых действительных значениях $x$. Остаётся решить: $$2^x < 8$$ $$2^x < 2^3$$ Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $y = 2^x$ монотонно возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется: $$x < 3$$ Ответ: $x < 3$ (или $x \in (-\infty; 3)$).