ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 6 / вариант 2 - 51

Решим уравнение: $$ \sqrt[7]{x} = x^{-7} $$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): Выражение $x^{-7} = \dfrac{1}{x^7}$ определено при всех $x \neq 0$. Корень нечётной степени $\sqrt[7]{x}$ определён при любом действительном значении $x$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 0$. 2. Запишем правую часть уравнения в виде дроби: $$ \sqrt[7]{x} = \frac{1}{x^7} $$ 3. Так как показатель корня нечётный, возведём обе части уравнения в 7-ю степень: $$ (\sqrt[7]{x})^7 = \left(\frac{1}{x^7}\right)^7 $$ $$ x = \frac{1}{x^{49}} $$ 4. Умножим обе части уравнения на $x^{49}$ при условии $x \neq 0$: $$ x^{50} = 1 $$ Отсюда: $$ x = \pm 1 $$ 5. Проверка: * При $x = 1$: $\sqrt[7]{1} = 1$ и $1^{-7} = 1$ — равенство верно. * При $x = -1$: $\sqrt[7]{-1} = -1$ и $(-1)^{-7} = \dfrac{1}{(-1)^7} = -1$ — равенство верно. Оба найденных значения удовлетворяют ОДЗ и являются корнями уравнения. Ответ: $-1;\; 1$.