ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 6 / вариант 2 - 39

39. $\boxed{6}$ Дана функция: $$y = 2 - x^5$$ Требуется найти функцию, обратную к данной. 1. **Область определения и область значений исходной функции:** - Выражение $2 - x^5$ имеет смысл при любых действительных значениях переменной $x$, следовательно, область определения: $$D(y) = (-\infty; +\infty)$$ - Так как $x^5$ принимает любые действительные значения, область значений также вся числовая прямая: $$E(y) = (-\infty; +\infty)$$ 2. **Существование обратной функции:** Функция $y = x^5$ является строго возрастающей на всей области определения. Следовательно, функция $y = -x^5$, а вместе с ней и функция $y = 2 - x^5$ строго убывает на $\mathbb{R}$. Так как функция строго монотонна, каждое своё значение она принимает ровно один раз, а значит, для неё существует обратная функция. 3. **Нахождение аналитического выражения для обратной функции:** Выразим переменную $x$ через $y$: $$y = 2 - x^5$$ $$x^5 = 2 - y$$ $$x = \sqrt[5]{2 - y}$$ Поменяв местами переменные $x$ и $y$, получаем формулу искомой обратной функции: $$y = \sqrt[5]{2 - x}$$ 4. **Область определения и область значений обратной функции:** - Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции: $$D = (-\infty; +\infty)$$ - Область значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции: $$E = (-\infty; +\infty)$$ Ответ: $y = \sqrt[5]{2 - x}$, где $x \in (-\infty; +\infty)$.