ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 6 / вариант 2 - 31

31. 6) Найдем область определения функции: $$ y = \left(\frac{x+3}{x-4}\right)^{\pi} $$ Показатель степени $\pi$ является положительным иррациональным числом. По определению степени с иррациональным показателем основание степени должно быть строго положительным. Составим и решим неравенство: $$ \frac{x+3}{x-4} > 0 $$ Применим метод интервалов: 1. Нуль числителя: $x + 3 = 0 \implies x = -3$. 2. Нуль знаменателя: $x - 4 = 0 \implies x = 4$. Точки $x = -3$ и $x = 4$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 4)$, $(4; +\infty)$. Определим знак выражения $\frac{x+3}{x-4}$ на каждом из промежутков: - при $x \in (4; +\infty)$ (например, $x = 5$): $\frac{5+3}{5-4} = 8 > 0$ (знак «$+$»); - при $x \in (-3; 4)$ (например, $x = 0$): $\frac{0+3}{0-4} = -\frac{3}{4} < 0$ (знак «$-»$); - при $x \in (-\infty; -3)$ (например, $x = -4$): $\frac{-4+3}{-4-4} = \frac{-1}{-8} > 0$ (знак «$+$»). Неравенство строго больше нуля, поэтому граничные точки не включаются. Следовательно, решением неравенства являются промежутки: $$ x \in (-\infty; -3) \cup (4; +\infty) $$ Ответ: $D(y) = (-\infty; -3) \cup (4; +\infty)$.