ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 6 / вариант 2 - 25

Для функции $y = \sqrt[3]{x - 2}$ найдём обратную функцию, определим области определения и значений обеих функций, а также опишем их графики. --- ### 1. Исследование исходной функции на обратимость 1. **Область определения** функции $y = \sqrt[3]{x - 2}$: Подкоренное выражение корня нечётной степени может принимать любые действительные значения, поэтому: $$D(y) = (-\infty; +\infty)$$ 2. **Область (множество) значений**: Корень нечётной степени принимает любые действительные значения: $$E(y) = (-\infty; +\infty)$$ 3. **Монотонность**: Функция $y = \sqrt[3]{x - 2}$ является строго возрастающей на всей числовой прямой $\mathbb{R}$ как композиция строго возрастающих функций $t(x) = x - 2$ и $g(t) = \sqrt[3]{t}$. Следовательно, функция $y = \sqrt[3]{x - 2}$ обратима на всей области определения. --- ### 2. Нахождение формулы обратной функции Выразим переменную $x$ через $y$: $$y = \sqrt[3]{x - 2}$$ Возведём обе части равенства в третью степень: $$y^3 = x - 2$$ Отсюда: $$x = y^3 + 2$$ Поменяв местами обозначения переменных $x$ и $y$, получаем формулу обратной функции: $$y = x^3 + 2$$ Для обратной функции: - Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ - Множество значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$ --- ### 3. Построение графиков Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y = x$ (биссектрисы I и III координатных четвертей). 1. **График функции $y = \sqrt[3]{x - 2}$**: Получается сдвигом графика базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$ вправо вдоль оси $Ox$ на $2$ единицы. Контрольные точки: - при $x = -6$: $y = \sqrt[3]{-6 - 2} = \sqrt[3]{-8} = -2 \implies (-6; -2)$ - при $x = 1$: $y = \sqrt[3]{1 - 2} = \sqrt[3]{-1} = -1 \implies (1; -1)$ - при $x = 2$: $y = \sqrt[3]{2 - 2} = 0 \implies (2; 0)$ — точка пересечения с осью $Ox$ - при $x = 3$: $y = \sqrt[3]{3 - 2} = 1 \implies (3; 1)$ - при $x = 10$: $y = \sqrt[3]{10 - 2} = 2 \implies (10; 2)$ 2. **График обратной функции $y = x^3 + 2$**: Получается сдвигом кубической параболы $y = x^3$ вверх вдоль оси $Oy$ на $2$ единицы. Контрольные точки (симметричные точкам графика исходной функции относительно прямой $y = x$): - $(-2; -6)$ - $(-1; 1)$ - $(0; 2)$ — точка пересечения с осью $Oy$ - $(1; 3)$ - $(2; 10)$ --- **Ответ:** Функция, обратная к данной: $$y = x^3 + 2, \quad x \in (-\infty; +\infty)$$ Область определения: $D = (-\infty; +\infty)$, множество значений: $E = (-\infty; +\infty)$.