ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 2 / § 6 / вариант 1 - 45

**45. [6]** Построим график функции $y = \sqrt[3]{x} + 1$ и исследуем её основные свойства. ### 1. Свойства функции 1. **Область определения функции:** Корень нечётной (третьей) степени определён при любом значении подкоренного выражения: $$D(y) = (-\infty; +\infty)$$ 2. **Множество значений функции:** Так как область значений базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$ есть вся числовая прямая, то: $$E(y) = (-\infty; +\infty)$$ 3. **Чётность / нечётность:** $$y(-x) = \sqrt[3]{-x} + 1 = -\sqrt[3]{x} + 1$$ Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида). 4. **Точки пересечения с осями координат:** * с осью $Oy$ (при $x = 0$): $$y = \sqrt[3]{0} + 1 = 1 \implies (0; 1)$$ * с осью $Ox$ (при $y = 0$): $$\sqrt[3]{x} + 1 = 0$$ $$\sqrt[3]{x} = -1$$ $$x = (-1)^3 = -1 \implies (-1; 0)$$ 5. **Промежутки знакопостоянства:** * $y > 0$ при $x \in (-1; +\infty)$; * $y < 0$ при $x \in (-\infty; -1)$. 6. **Монотонность:** Функция $y = \sqrt[3]{x}$ строго возрастает на всей числовой прямой, следовательно, функция $y = \sqrt[3]{x} + 1$ также является строго возрастающей на всей области определения: $x \in (-\infty; +\infty)$. --- ### 2. Геометрическое преобразование и построение графика График функции $y = \sqrt[3]{x} + 1$ получается путём параллельного переноса (сдвига) графика базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$ вдоль оси ординат $Oy$ на $1$ единицу вверх. Составим таблицу контрольных точек для построения: | $x$ | $-8$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $8$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $\sqrt[3]{x}$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | $y = \sqrt[3]{x} + 1$ | **$-1$** | **$0$** | **$1$** | **$2$** | **$3$** | **Построение:** 1. Отмечаем на координатной плоскости точки $(-8; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; 2)$, $(8; 3)$. 2. Соединяем их плавной непрерывной кривой, аналогичной кубической параболе, ориентированной вдоль оси $Ox$, с точкой перегиба в $(0; 1)$.