ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 1 / § 5 / вариант 1 - 15

15. Упростим заданное выражение: $$6ab\sqrt[9]{a^8b^3} : \frac{2a}{3b}\sqrt[6]{a^2b^5}$$ Представим деление на дробь как умножение на взаимно обратную дробь: $$6ab\sqrt[9]{a^8b^3} \cdot \frac{3b}{2a\sqrt[6]{a^2b^5}} = \frac{6ab \cdot 3b}{2a} \cdot \frac{\sqrt[9]{a^8b^3}}{\sqrt[6]{a^2b^5}}$$ 1) Упростим рациональную часть выражения: $$\frac{6ab \cdot 3b}{2a} = \frac{18ab^2}{2a} = 9b^2$$ 2) Перейдем к степеням с дробными показателями для множителей под корнями (при $a > 0$, $b > 0$): $$\sqrt[9]{a^8b^3} = a^{\frac{8}{9}} b^{\frac{3}{9}} = a^{\frac{8}{9}} b^{\frac{1}{3}}$$ $$\sqrt[6]{a^2b^5} = a^{\frac{2}{6}} b^{\frac{5}{6}} = a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{5}{6}}$$ 3) Выполним деление корней, используя свойства степеней с одинаковыми основаниями: $$\frac{\sqrt[9]{a^8b^3}}{\sqrt[6]{a^2b^5}} = \frac{a^{\frac{8}{9}} b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{5}{6}}} = a^{\frac{8}{9} - \frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3} - \frac{5}{6}} = a^{\frac{8}{9} - \frac{3}{9}} \cdot b^{\frac{2}{6} - \frac{5}{6}} = a^{\frac{5}{9}} b^{-\frac{3}{6}} = a^{\frac{5}{9}} b^{-\frac{1}{2}}$$ 4) Перемножим полученные части: $$9b^2 \cdot a^{\frac{5}{9}} b^{-\frac{1}{2}} = 9a^{\frac{5}{9}} b^{2 - \frac{1}{2}} = 9a^{\frac{5}{9}} b^{\frac{3}{2}}$$ Результат можно также записать в виде корня: $$9a^{\frac{5}{9}} b^{\frac{3}{2}} = 9a^{\frac{10}{18}} b^{\frac{27}{18}} = 9\sqrt[18]{a^{10}b^{27}} = 9b\sqrt[18]{a^{10}b^9}$$ Ответ: $9a^{\frac{5}{9}}b^{\frac{3}{2}}$ (или $9b\sqrt[18]{a^{10}b^9}$)