ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 975

1) $f(x) = 6x^2 - x^3$ Область определения функции — множество всех действительных чисел: $D(f) = \mathbb{R}$. Для нахождения точек перегиба найдём первую и вторую производные: $$ f'(x) = (6x^2 - x^3)' = 12x - 3x^2 $$ $$ f''(x) = (12x - 3x^2)' = 12 - 6x $$ Приравняем вторую производную к нулю: $$ 12 - 6x = 0 $$ $$ 6x = 12 $$ $$ x = 2 $$ Определим знаки второй производной при переходе через точку $x = 2$: * при $x < 2$ (например, при $x = 0$): $f''(0) = 12 > 0$ — график функции выпуклый вниз; * при $x > 2$ (например, при $x = 3$): $f''(3) = 12 - 18 = -6 < 0$ — график функции выпуклый вверх. Так как при переходе через точку $x = 2$ вторая производная меняет знак, то $x = 2$ является абсциссой точки перегиба. Вычислим ординату этой точки: $$ f(2) = 6 \cdot 2^2 - 2^3 = 6 \cdot 4 - 8 = 24 - 8 = 16 $$ Точка перегиба графика функции: $(2; 16)$. --- 2) $f(x) = 3x^2 + 4x^3$ Область определения функции: $D(f) = \mathbb{R}$. Найдём первую и вторую производные: $$ f'(x) = (3x^2 + 4x^3)' = 6x + 12x^2 $$ $$ f''(x) = (6x + 12x^2)' = 6 + 24x $$ Приравняем вторую производную к нулю: $$ 6 + 24x = 0 $$ $$ 24x = -6 $$ $$ x = -\frac{6}{24} = -\frac{1}{4} = -0{,}25 $$ Определим знаки второй производной при переходе через точку $x = -0{,}25$: * при $x < -0{,}25$ (например, при $x = -1$): $f''(-1) = 6 - 24 = -18 < 0$ — график функции выпуклый вверх; * при $x > -0{,}25$ (например, при $x = 0$): $f''(0) = 6 > 0$ — график функции выпуклый вниз. Так как при переходе через точку $x = -0{,}25$ вторая производная меняет знак, то $x = -0{,}25$ является абсциссой точки перегиба. Вычислим ординату этой точки: $$ f\left(-\frac{1}{4}\right) = 3 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^2 + 4 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^3 = 3 \cdot \frac{1}{16} - 4 \cdot \frac{1}{64} = \frac{3}{16} - \frac{1}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} = 0{,}125 $$ Точка перегиба графика функции: $(-0{,}25; 0{,}125)$ или $\left(-\frac{1}{4}; \frac{1}{8}\right)$. --- **Ответ:** 1) $(2; 16)$; 2) $(-0{,}25; 0{,}125)$.