ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 978

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота ($R > 0$, $H > 0$). Осевым сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами $2R$ (диаметр основания) и $H$ (высота цилиндра). Периметр осевого сечения равен: $$ P = 2(2R + H) = 4R + 2H $$ По условию этот периметр равен $p$: $$ 4R + 2H = p $$ Выразим высоту $H$ через $R$: $$ 2H = p - 4R \implies H = \frac{p}{2} - 2R $$ Так как высота $H > 0$, определим область допустимых значений для радиуса $R$: $$ \frac{p}{2} - 2R > 0 \implies R < \frac{p}{4} $$ Таким образом, $R \in \left(0; \frac{p}{4}\right)$. Объём цилиндра вычисляется по формуле: $$ V = \pi R^2 H $$ Подставим выражение для $H$ и получим функцию объёма от переменной $R$: $$ V(R) = \pi R^2 \left(\frac{p}{2} - 2R\right) = \pi \left(\frac{p}{2} R^2 - 2R^3\right) $$ Исследуем функцию $V(R)$ на наибольшее значение на интервале $\left(0; \frac{p}{4}\right)$ с помощью производной: $$ V'(R) = \pi \left(\frac{p}{2} \cdot 2R - 2 \cdot 3R^2\right) = \pi (pR - 6R^2) = \pi R (p - 6R) $$ Найдем критические точки функции, приравняв производную к нулю: $$ \pi R (p - 6R) = 0 $$ Так как $R > 0$, получаем: $$ p - 6R = 0 \implies R = \frac{p}{6} $$ Точка $R = \frac{p}{6}$ принадлежит рассматриваемому интервалу $\left(0; \frac{p}{4}\right)$. Определим знаки производной на интервале $\left(0; \frac{p}{4}\right)$: - при $0 < R < \frac{p}{6}$ производная $V'(R) > 0$, следовательно, функция возрастает; - при $\frac{p}{6} < R < \frac{p}{4}$ производная $V'(R) < 0$, следовательно, функция убывает. Значит, $R = \frac{p}{6}$ — точка максимума, и в ней функция принимает своё наибольшее значение. Найдем высоту цилиндра при $R = \frac{p}{6}$: $$ H = \frac{p}{2} - 2 \cdot \frac{p}{6} = \frac{p}{2} - \frac{p}{3} = \frac{p}{6} $$ Вычислим наибольший объём цилиндра: $$ V_{\text{наиб}} = \pi \cdot \left(\frac{p}{6}\right)^2 \cdot \frac{p}{6} = \pi \cdot \frac{p^2}{36} \cdot \frac{p}{6} = \frac{\pi p^3}{216} $$ Ответ: $\frac{\pi p^3}{216}$.