ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 973

Пусть длина одного из катетов прямоугольного треугольника равна $x$. Так как сумма катетов равна 40, то длина второго катета равна $40 - x$. Длины сторон треугольника должны быть положительными: $$ \begin{cases} x > 0 \\ 40 - x > 0 \end{cases} \implies 0 < x < 40 $$ Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $$ S(x) = \frac{1}{2} x (40 - x) = 20x - \frac{1}{2}x^2 $$ Исследуем полученную функцию $S(x)$ на наибольшее значение на интервале $(0; 40)$ с помощью производной: $$ S'(x) = \left(20x - \frac{1}{2}x^2\right)' = 20 - x $$ Найдем критические точки функции: $$ S'(x) = 0 $$ $$ 20 - x = 0 \implies x = 20 $$ Определим знаки производной на интервале $(0; 40)$: — при $x \in (0; 20)$ производная $S'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает; — при $x \in (20; 40)$ производная $S'(x) < 0$, следовательно, функция убывает. Так как при переходе через точку $x = 20$ производная меняет знак с плюса на минус, $x = 20$ является точкой максимума функции. Поскольку на рассматриваемом интервале эта точка единственная, функция $S(x)$ достигает в ней своего наибольшего значения. Найдем длину второго катета: $$ 40 - 20 = 20 $$ Таким образом, чтобы площадь треугольника была наибольшей, оба катета должны быть равны 20. Ответ: 20 и 20.