ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 970

### 1) Построить график функции $y = \frac{2}{x^2 - 4}$ **1. Область определения:** Знаменатель не должен быть равен нулю: $$ x^2 - 4 \neq 0 \implies x \neq \pm 2 $$ $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$. **2. Чётность / нечётность:** $$ y(-x) = \frac{2}{(-x)^2 - 4} = \frac{2}{x^2 - 4} = y(x) $$ Функция чётная, её график симметричен относительно оси ординат $Oy$. **3. Точки пересечения с осями координат:** - С осью $Oy$ ($x = 0$): $y(0) = \frac{2}{0^2 - 4} = -\frac{1}{2} = -0{,}5$. Точка $(0; -0{,}5)$. - С осью $Ox$ ($y = 0$): уравнение $\frac{2}{x^2 - 4} = 0$ не имеет корней, график не пересекает ось $Ox$. **4. Асимптоты:** - Вертикальные асимптоты: прямые $x = -2$ и $x = 2$. - При $x \to -2^-$: $y \to +\infty$; при $x \to -2^+$: $y \to -\infty$. - При $x \to 2^-$: $y \to -\infty$; при $x \to 2^+$: $y \to +\infty$. - Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$ значение $y \to 0$, поэтому прямая $y = 0$ (ось $Ox$) является горизонтальной асимптотой. **5. Промежутки монотонности и точки экстремума:** Найдём производную функции: $$ y' = \left( 2(x^2 - 4)^{-1} \right)' = 2 \cdot (-1)(x^2 - 4)^{-2} \cdot 2x = -\frac{4x}{(x^2 - 4)^2} $$ Приравняем производную к нулю: $$ -\frac{4x}{(x^2 - 4)^2} = 0 \implies x = 0 $$ Знаменатель $(x^2 - 4)^2 > 0$ при всех $x \in D(y)$, следовательно, знак $y'$ зависит только от числителя $-4x$: - на интервалах $(-\infty; -2)$ и $(-2; 0)$: $y' > 0$ — функция возрастает; - на интервалах $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$: $y' < 0$ — функция убывает. В точке $x = 0$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, $x = 0$ — точка максимума: $$ y_{\max} = y(0) = -0{,}5 $$ **6. Построение графика:** - На координатной плоскости пунктиром проводим вертикальные асимптоты $x = -2$, $x = 2$ и горизонтальную асимптоту $y = 0$. - Отмечаем точку максимума $(0; -0{,}5)$. При приближении к асимптотам $x = -2$ и $x = 2$ изнутри интервала $(-2; 2)$ ветви графика направлены вниз к $-\infty$ (колоколообразная кривая с вершиной в точке $(0; -0{,}5)$). - Вне интервала $[-2; 2]$: при $x \in (-\infty; -2)$ график лежит выше оси $Ox$, поднимаясь от $0$ до $+\infty$; при $x \in (2; +\infty)$ график опускается от $+\infty$ к оси $Ox$. Дополнительные точки: $(-3; 0{,}4)$, $(3; 0{,}4)$, $(-1; -\frac{2}{3})$, $(1; -\frac{2}{3})$. --- ### 2) Построить график функции $y = \frac{2}{x^2 + 4}$ **1. Область определения:** Так как $x^2 + 4 \ge 4 > 0$ при любых $x$, знаменатель никогда не равен нулю: $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ **2. Чётность / нечётность:** $$ y(-x) = \frac{2}{(-x)^2 + 4} = \frac{2}{x^2 + 4} = y(x) $$ Функция чётная, график симметричен относительно оси $Oy$. **3. Точки пересечения с осями координат:** - С осью $Oy$ ($x = 0$): $y(0) = \frac{2}{0 + 4} = \frac{1}{2} = 0{,}5$. Точка $(0; 0{,}5)$. - С осью $Ox$ ($y = 0$): решений нет, график лежит строго выше оси $Ox$ ($y > 0$). **4. Асимптоты:** - Вертикальных асимптот нет, функция непрерывна на всей числовой прямой. - Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$ значение знаменателя неограниченно возрастает, поэтому $y \to 0$. Прямая $y = 0$ (ось $Ox$) — горизонтальная асимптота. **5. Промежутки монотонности и точки экстремума:** Найдём производную функции: $$ y' = \left( 2(x^2 + 4)^{-1} \right)' = 2 \cdot (-1)(x^2 + 4)^{-2} \cdot 2x = -\frac{4x}{(x^2 + 4)^2} $$ Приравняем производную к нулю: $$ -\frac{4x}{(x^2 + 4)^2} = 0 \implies x = 0 $$ Так как знаменатель $(x^2 + 4)^2 > 0$: - при $x < 0$: $y' > 0$ — функция возрастает; - при $x > 0$: $y' < 0$ — функция убывает. В точке $x = 0$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, $x = 0$ — точка максимума: $$ y_{\max} = y(0) = 0{,}5 $$ **6. Построение графика:** - График представляет собой плавный колоколообразный холм, симметричный относительно оси $Oy$. - Отмечаем вершину в точке $(0; 0{,}5)$. - При удалении влево и вправо по оси $Ox$ график плавно опускается, приближаясь к оси $Ox$ ($y = 0$), никогда её не пересекая. Дополнительные опорные точки: $(-2; 0{,}25)$, $(2; 0{,}25)$, $(-1; 0{,}4)$, $(1; 0{,}4)$. --- ### 3) Построить график функции $y = (x - 1)^2(x + 2)$ **1. Область определения:** $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ **2. Чётность / нечётность:** Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида). **3. Точки пересечения с осями координат:** - С осью $Ox$ ($y = 0$): $$ (x - 1)^2(x + 2) = 0 \implies x_1 = 1,\quad x_2 = -2 $$ Точки пересечения: $(-2; 0)$ и $(1; 0)$. При этом $x = 1$ — корень кратности 2 (в этой точке график касается оси $Ox$, не переходя на другую сторону). - С осью $Oy$ ($x = 0$): $y(0) = (0 - 1)^2(0 + 2) = 1 \cdot 2 = 2$. Точка $(0; 2)$. **4. Поведение на бесконечности:** При $x \to +\infty$: $y \to +\infty$; при $x \to -\infty$: $y \to -\infty$. Асимптот нет. **5. Промежутки монотонности и точки экстремума:** Раскроем скобки в формуле функции: $$ y = (x^2 - 2x + 1)(x + 2) = x^3 + 2x^2 - 2x^2 - 4x + x + 2 = x^3 - 3x + 2 $$ Найдём производную: $$ y' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1) $$ Критические точки: $x = -1$ и $x = 1$. Определим знаки производной методом интервалов: - на интервале $(-\infty; -1)$: $y' > 0$ — функция возрастает; - на интервале $(-1; 1)$: $y' < 0$ — функция убывает; - на интервале $(1; +\infty)$: $y' > 0$ — функция возрастает. Экстремумы: - $x = -1$ — точка максимума (смена знака $y'$ с «$+$» на «$-$»): $$ y_{\max} = y(-1) = (-1 - 1)^2(-1 + 2) = 4 \cdot 1 = 4 $$ - $x = 1$ — точка минимума (смена знака $y'$ с «$-$» на «$+$»): $$ y_{\min} = y(1) = (1 - 1)^2(1 + 2) = 0 $$ **6. Построение графика:** - График кубической параболы выходит из третьей четверти (из $-\infty$), пересекает ось $Ox$ в точке $(-2; 0)$. - Поднимается до точки локального максимума $(-1; 4)$. - Убывает, проходя через точку $(0; 2)$ на оси $Oy$, до точки локального минимума $(1; 0)$, где касается оси $Ox$. - После точки $(1; 0)$ неограниченно возрастает в первую четверть в сторону $+\infty$. Дополнительная точка: при $x = 2$, $y = (2-1)^2(2+2) = 4$. --- ### 4) Построить график функции $y = x(x - 1)^3$ **1. Область определения:** $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ **2. Чётность / нечётность:** Функция общего вида (ни чётная, ни нечётная). **3. Точки пересечения с осями координат:** - С осью $Ox$ ($y = 0$): $$ x(x - 1)^3 = 0 \implies x_1 = 0,\quad x_2 = 1 $$ Точки: $(0; 0)$ и $(1; 0)$. В точке $x = 1$ корень третьей кратности (график пересекает ось $Ox$, имея в ней горизонтальную касательную — точка перегиба). - С осью $Oy$ ($x = 0$): точка $(0; 0)$. **4. Поведение на бесконечности:** При $x \to \pm\infty$: старший член многочлена равен $x^4$, поэтому при $x \to -\infty$ и $x \to +\infty$ значение функции $y \to +\infty$. Асимптот нет. **5. Промежутки монотонности и точки экстремума:** Найдём производную как производную произведения: $$ y' = (x)' \cdot (x - 1)^3 + x \cdot \left((x - 1)^3\right)' = (x - 1)^3 + 3x(x - 1)^2 $$ Вынесем общий множитель $(x - 1)^2$: $$ y' = (x - 1)^2 \big((x - 1) + 3x\big) = (x - 1)^2 (4x - 1) $$ Приравняем производную к нулю: $$ (x - 1)^2 (4x - 1) = 0 \implies x_1 = \frac{1}{4} = 0{,}25,\quad x_2 = 1 $$ Так как множитель $(x - 1)^2 \ge 0$, знак производной определяется знаком линейного множителя $(4x - 1)$: - на интервале $(-\infty; 0{,}25)$: $y' < 0$ — функция убывает; - на интервале $(0{,}25; 1)$: $y' > 0$ — функция возрастает; - на интервале $(1; +\infty)$: $y' > 0$ — функция возрастает. Экстремумы: - В точке $x = 0{,}25$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума: $$ y_{\min} = y\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{4} - 1\right)^3 = \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{27}{64}\right) = -\frac{27}{256} \approx -0{,}11 $$ - В точке $x = 1$ производная равна нулю, но знак не меняет — это точка перегиба с горизонтальной касательной. **6. Построение графика:** - График спускается из второй четверти (из $+\infty$), пересекает начало координат $(0; 0)$. - Достигает пологого минимума в точке $(0{,}25; -0{,}11)$. - Возрастает, подходит к точке $(1; 0)$, касаясь оси $Ox$ горизонтально, пересекает её и продолжает круто расти вверх в $+\infty$. - Дополнительные точки для точного построения: - при $x = -1$: $y = -1 \cdot (-2)^3 = 8$; - при $x = 2$: $y = 2 \cdot 1^3 = 2$.