ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 967

**967** 1. Найдем область определения функции $y = x\left(1 + 2\sqrt{x}\right)$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $$ x \ge 0 $$ Следовательно, область определения функции: $$ D(y) = [0; +\infty) $$ 2. Для удобства дифференцирования раскроем скобки, представив корень в виде степени с дробным показателем: $$ y = x + 2x\sqrt{x} = x + 2x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x + 2x^{\frac{3}{2}} $$ 3. Найдем производную функции для $x > 0$: $$ y' = \left(x + 2x^{\frac{3}{2}}\right)' = (x)' + 2 \cdot \left(x^{\frac{3}{2}}\right)' = 1 + 2 \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2} - 1} = 1 + 3x^{\frac{1}{2}} = 1 + 3\sqrt{x} $$ 4. Исследуем знак производной на интервале $(0; +\infty)$. Так как при всех $x > 0$ выражение $\sqrt{x} > 0$, получаем: $$ y' = 1 + 3\sqrt{x} > 0 $$ 5. Функция $y = x\left(1 + 2\sqrt{x}\right)$ непрерывна на всей области определения $[0; +\infty)$, и её производная $y' > 0$ на интервале $(0; +\infty)$. По теореме о достаточном условии возрастания функции, $y = x\left(1 + 2\sqrt{x}\right)$ возрастает на всей области определения $[0; +\infty)$. Что и требовалось доказать.