ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 957

**1)** $y = x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 1$ Область определения функции: $D(y) = \mathbb{R}$. Стационарные точки — это точки из области определения функции, в которых её производная равна нулю. Найдём производную функции: $$ y' = (x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 1)' = 4x^3 - 12x^2 - 16x $$ Приравняем производную к нулю: $$ 4x^3 - 12x^2 - 16x = 0 $$ Вынесем общий множитель $4x$ за скобки: $$ 4x(x^2 - 3x - 4) = 0 $$ Разложим квадратный трёхчлен на множители по теореме Виета ($x_1 + x_2 = 3$, $x_1 \cdot x_2 = -4 \implies x_1 = 4, x_2 = -1$): $$ 4x(x - 4)(x + 1) = 0 $$ Отсюда: $x = 0$, или $x - 4 = 0 \implies x = 4$, или $x + 1 = 0 \implies x = -1$. Все найденные значения принадлежат области определения функции. Ответ: $-1; 0; 4$. --- **2)** $y = 4x^4 - 2x^2 + 3$ Область определения функции: $D(y) = \mathbb{R}$. Найдём производную: $$ y' = (4x^4 - 2x^2 + 3)' = 16x^3 - 4x $$ Приравняем производную к нулю: $$ 16x^3 - 4x = 0 $$ Вынесем $4x$ за скобки: $$ 4x(4x^2 - 1) = 0 $$ Применим формулу разности квадратов: $$ 4x(2x - 1)(2x + 1) = 0 $$ Отсюда получаем: $x = 0$, или $2x - 1 = 0 \implies x = 0{,}5$, или $2x + 1 = 0 \implies x = -0{,}5$. Ответ: $-0{,}5; 0; 0{,}5$. --- **3)** $y = \frac{x}{3} - \frac{12}{x}$ Область определения функции: $x \neq 0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Найдём производную: $$ y' = \left(\frac{1}{3}x - 12 \cdot x^{-1}\right)' = \frac{1}{3} - 12 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = \frac{1}{3} + \frac{12}{x^2} $$ Приравняем производную к нулю: $$ \frac{1}{3} + \frac{12}{x^2} = 0 $$ $$ \frac{12}{x^2} = -\frac{1}{3} $$ При любом $x \neq 0$ величина $x^2 > 0$, поэтому $\frac{12}{x^2} > 0$. Так как левая часть уравнения строго положительна, а правая отрицательна, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, производная нигде не обращается в ноль. Ответ: стационарных точек нет. --- **4)** $y = \cos 2x + 2 \cos x$ Область определения функции: $D(y) = \mathbb{R}$. Найдём производную, используя правило дифференцирования сложной функции: $$ y' = (\cos 2x)' + 2(\cos x)' = -\sin 2x \cdot (2x)' - 2\sin x = -2\sin 2x - 2\sin x $$ Приравняем производную к нулю: $$ -2\sin 2x - 2\sin x = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $-2$: $$ \sin 2x + \sin x = 0 $$ Воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$: $$ 2\sin x \cos x + \sin x = 0 $$ Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки: $$ \sin x (2\cos x + 1) = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\sin x = 0 \implies x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$; 2) $2\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \pm\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) + 2\pi k = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. Ответ: $\pi n, \; n \in \mathbb{Z}; \quad \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$.