ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 959

**1)** $y = x^5 - 2,5x^2 + 3$ Область определения функции: $D(y) = \mathbb{R}$. Найдем производную функции: $$ y' = (x^5 - 2,5x^2 + 3)' = 5x^4 - 5x $$ Разложим производную на множители: $$ y' = 5x(x^3 - 1) = 5x(x - 1)(x^2 + x + 1) $$ Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю: $$ 5x(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0 $$ Так как квадратный трехчлен $x^2 + x + 1 > 0$ при любых действительных значениях $x$ (дискриминант $D = 1 - 4 = -3 < 0$), получаем корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Определим знаки производной на полученных интервалах методом интервалов: - на интервале $(-\infty; 0)$: $y' > 0$, функция возрастает; - на интервале $(0; 1)$: $y' < 0$, функция убывает; - на интервале $(1; +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает. Следовательно: - при переходе через точку $x = 0$ знак производной меняется с «$+$» на «$-$», значит, $x_{\text{max}} = 0$ — точка максимума; - при переходе через точку $x = 1$ знак производной меняется с «$-$» на «$+$», значит, $x_{\text{min}} = 1$ — точка минимума. Вычислим значения функции в найденных точках экстремума: $$ y_{\text{max}} = y(0) = 0^5 - 2,5 \cdot 0^2 + 3 = 3 $$ $$ y_{\text{min}} = y(1) = 1^5 - 2,5 \cdot 1^2 + 3 = 1 - 2,5 + 3 = 1,5 $$ **Ответ к пункту 1:** $x_{\text{max}} = 0$, $y_{\text{max}} = 3$; $x_{\text{min}} = 1$, $y_{\text{min}} = 1,5$. --- **2)** $y = 0,2x^5 - 4x^2 - 3$ Область определения функции: $D(y) = \mathbb{R}$. Найдем производную функции: $$ y' = (0,2x^5 - 4x^2 - 3)' = 0,2 \cdot 5x^4 - 8x = x^4 - 8x $$ Разложим производную на множители: $$ y' = x(x^3 - 8) = x(x - 2)(x^2 + 2x + 4) $$ Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю: $$ x(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0 $$ Так как $x^2 + 2x + 4 = (x + 1)^2 + 3 > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$, получаем корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Определим знаки производной на интервалах: - на интервале $(-\infty; 0)$: $y' > 0$, функция возрастает; - на интервале $(0; 2)$: $y' < 0$, функция убывает; - на интервале $(2; +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает. Следовательно: - при переходе через точку $x = 0$ знак производной меняется с «$+$» на «$-$», значит, $x_{\text{max}} = 0$ — точка максимума; - при переходе через точку $x = 2$ знак производной меняется с «$-$» на «$+$», значит, $x_{\text{min}} = 2$ — точка минимума. Вычислим значения функции в найденных точках экстремума: $$ y_{\text{max}} = y(0) = 0,2 \cdot 0^5 - 4 \cdot 0^2 - 3 = -3 $$ $$ y_{\text{min}} = y(2) = 0,2 \cdot 2^5 - 4 \cdot 2^2 - 3 = 0,2 \cdot 32 - 16 - 3 = 6,4 - 19 = -12,6 $$ **Ответ к пункту 2:** $x_{\text{max}} = 0$, $y_{\text{max}} = -3$; $x_{\text{min}} = 2$, $y_{\text{min}} = -12,6$.