ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер

**1)** $f(x) = \cos x$, $-\pi < x < \pi$ 1. Найдём первую и вторую производные функции: $$ f'(x) = (\cos x)' = -\sin x $$ $$ f''(x) = (-\sin x)' = -\cos x $$ 2. Приравняем вторую производную к нулю: $$ -\cos x = 0 \iff \cos x = 0 $$ На интервале $(-\pi; \pi)$ уравнение имеет два корня: $x_1 = -\frac{\pi}{2}$, $x_2 = \frac{\pi}{2}$. 3. Определим знаки второй производной $f''(x) = -\cos x$ на полученных интервалах: - при $x \in \left(-\pi; -\frac{\pi}{2}\right)$ значение $\cos x < 0$, следовательно, $f''(x) > 0$ (график вогнут / выпукл вниз); - при $x \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$ значение $\cos x > 0$, следовательно, $f''(x) < 0$ (график выпукл / выпукл вверх); - при $x \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)$ значение $\cos x < 0$, следовательно, $f''(x) > 0$ (график вогнут / выпукл вниз). При переходе через точки $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$ вторая производная меняет знак, значит, эти точки являются точками перегиба. 4. Вычислим значения функции в найденных точках: $$ f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0 $$ $$ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $$ **Ответ:** точки перегиба $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$ (на графике: $\left(-\frac{\pi}{2}; 0\right)$ и $\left(\frac{\pi}{2}; 0\right)$). --- **2)** $f(x) = x^5 - 80x^2$ 1. Найдём первую и вторую производные функции: $$ f'(x) = (x^5 - 80x^2)' = 5x^4 - 160x $$ $$ f''(x) = (5x^4 - 160x)' = 20x^3 - 160 $$ 2. Найдём критические точки второго рода, решив уравнение $f''(x) = 0$: $$ 20x^3 - 160 = 0 $$ $$ 20(x^3 - 8) = 0 \iff x^3 = 8 \iff x = 2 $$ 3. Исследуем знак второй производной в окрестности точки $x = 2$: - при $x < 2$ имеем $x^3 < 8$, значит, $f''(x) < 0$; - при $x > 2$ имеем $x^3 > 8$, значит, $f''(x) > 0$. При переходе через точку $x = 2$ вторая производная меняет знак, следовательно, $x = 2$ — точка перегиба. 4. Вычислим значение функции в этой точке: $$ f(2) = 2^5 - 80 \cdot 2^2 = 32 - 80 \cdot 4 = 32 - 320 = -288 $$ **Ответ:** точка перегиба $x = 2$ (на графике: $(2; -288)$). --- **3)** $f(x) = 12x^3 - 24x^2 + 12x$ 1. Найдём первую и вторую производные функции: $$ f'(x) = (12x^3 - 24x^2 + 12x)' = 36x^2 - 48x + 12 $$ $$ f''(x) = (36x^2 - 48x + 12)' = 72x - 48 $$ 2. Найдём точки, в которых вторая производная обращается в ноль: $$ 72x - 48 = 0 $$ $$ 72x = 48 \iff x = \frac{48}{72} = \frac{2}{3} $$ 3. Исследуем знак $f''(x) = 72\left(x - \frac{2}{3}\right)$: - при $x < \frac{2}{3}$ выполняется $f''(x) < 0$; - при $x > \frac{2}{3}$ выполняется $f''(x) > 0$. Так как знак $f''(x)$ меняется при переходе через точку $x = \frac{2}{3}$, она является точкой перегиба. 4. Вычислим значение функции при $x = \frac{2}{3}$: $$ f\left(\frac{2}{3}\right) = 12 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3 - 24 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 + 12 \cdot \frac{2}{3} $$ $$ f\left(\frac{2}{3}\right) = 12 \cdot \frac{8}{27} - 24 \cdot \frac{4}{9} + 8 = \frac{32}{9} - \frac{96}{9} + \frac{72}{9} = \frac{8}{9} $$ **Ответ:** точка перегиба $x = \frac{2}{3}$ (на графике: $\left(\frac{2}{3}; \frac{8}{9}\right)$). --- **4)** $f(x) = \sin x - \frac{1}{2}\sin 2x$, $-\pi < x < \pi$ 1. Найдём производные функции: $$ f'(x) = \cos x - \frac{1}{2} \cdot 2\cos 2x = \cos x - \cos 2x $$ $$ f''(x) = -\sin x - (-2\sin 2x) = -\sin x + 2\sin 2x $$ Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$: $$ f''(x) = -\sin x + 4\sin x \cos x = \sin x(4\cos x - 1) $$ 2. Приравняем вторую производную к нулю: $$ \sin x(4\cos x - 1) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: - $\sin x = 0 \implies$ на интервале $(-\pi; \pi)$ получаем корень $x_1 = 0$; - $4\cos x - 1 = 0 \iff \cos x = \frac{1}{4} \implies$ на интервале $(-\pi; \pi)$ получаем корни $x_2 = -\arccos\frac{1}{4}$ и $x_3 = \arccos\frac{1}{4}$. Обозначим $\alpha = \arccos\frac{1}{4}$. Так как $0 < \frac{1}{4} < \frac{1}{2}$, то $\frac{\pi}{3} < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Точки разбивают интервал $(-\pi; \pi)$ в порядке возрастания: $-\pi < -\alpha < 0 < \alpha < \pi$. 3. Исследуем знак выражения $f''(x) = \sin x(4\cos x - 1)$ на полученных интервалах: - при $x \in (-\pi; -\alpha)$: $\sin x < 0$ и $\cos x < \frac{1}{4} \implies 4\cos x - 1 < 0$, следовательно, $f''(x) > 0$; - при $x \in (-\alpha; 0)$: $\sin x < 0$ и $\cos x > \frac{1}{4} \implies 4\cos x - 1 > 0$, следовательно, $f''(x) < 0$; - при $x \in (0; \alpha)$: $\sin x > 0$ и $\cos x > \frac{1}{4} \implies 4\cos x - 1 > 0$, следовательно, $f''(x) > 0$; - при $x \in (\alpha; \pi)$: $\sin x > 0$ и $\cos x < \frac{1}{4} \implies 4\cos x - 1 < 0$, следовательно, $f''(x) < 0$. При переходе через каждую из точек $x = -\arccos\frac{1}{4}$, $x = 0$, $x = \arccos\frac{1}{4}$ знак второй производной меняется, значит, все они являются точками перегиба. 4. Вычислим значения функции: - при $x = 0$: $$ f(0) = \sin 0 - \frac{1}{2}\sin 0 = 0 $$ - при $x = \alpha = \arccos\frac{1}{4}$ (где $\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$): $$ f(\alpha) = \sin\alpha - \frac{1}{2}\sin 2\alpha = \sin\alpha - \sin\alpha\cos\alpha = \sin\alpha(1 - \cos\alpha) $$ $$ f(\alpha) = \frac{\sqrt{15}}{4} \left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{\sqrt{15}}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3\sqrt{15}}{16} $$ - при $x = -\alpha = -\arccos\frac{1}{4}$ (в силу нечётности функции $f(x)$): $$ f(-\alpha) = -f(\alpha) = -\frac{3\sqrt{15}}{16} $$ **Ответ:** точки перегиба $x = -\arccos\frac{1}{4}$, $x = 0$, $x = \arccos\frac{1}{4}$ (на графике: $\left(-\arccos\frac{1}{4}; -\frac{3\sqrt{15}}{16}\right)$, $(0; 0)$, $\left(\arccos\frac{1}{4}; \frac{3\sqrt{15}}{16}\right)$).