ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 952

Пусть ширина каждой из трёх досок равна $a$ ($a > 0$). Поперечное сечение жёлоба представляет собой равнобедренную трапецию, нижнее основание и боковые стороны которой равны $a$. Обозначим через $\alpha$ угол наклона боковых стенок к продолжению основания (горизонтали), где $\alpha \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$. Тогда внутренний угол между дном жёлоба и боковой стенкой равен $\pi - \alpha$. Выразим элементы поперечного сечения через $a$ и $\alpha$: 1. Высота трапеции: $$h = a \sin \alpha$$ 2. Проекция боковой стороны на прямую, содержащую основание: $$x = a \cos \alpha$$ 3. Верхнее основание трапеции: $$b = a + 2x = a + 2a \cos \alpha$$ Площадь поперечного сечения трапеции находится по формуле: $$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$$ $$S(\alpha) = \frac{a + (a + 2a \cos \alpha)}{2} \cdot a \sin \alpha = \frac{2a + 2a \cos \alpha}{2} \cdot a \sin \alpha = a^2 (1 + \cos \alpha) \sin \alpha$$ Раскроем скобки: $$S(\alpha) = a^2 (\sin \alpha + \sin \alpha \cos \alpha) = a^2 \left(\sin \alpha + \frac{1}{2}\sin 2\alpha\right)$$ Исследуем функцию $S(\alpha)$ на наибольшее значение на интервале $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$ с помощью производной: $$S'(\alpha) = a^2 (\cos \alpha + \cos 2\alpha)$$ Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$: $$S'(\alpha) = a^2 (2\cos^2 \alpha + \cos \alpha - 1)$$ Найдём критические точки, решив уравнение $S'(\alpha) = 0$: $$2\cos^2 \alpha + \cos \alpha - 1 = 0$$ Пусть $t = \cos \alpha$, где $t \in (0; 1)$: $$2t^2 + t - 1 = 0$$ $$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$ $$t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}, \quad t_2 = \frac{-1 - 3}{4} = -1 \notin (0; 1)$$ Вернёмся к переменной $\alpha$: $$\cos \alpha = \frac{1}{2} \implies \alpha = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$$ Проверим знаки производной при переходе через точку $\alpha = 60^\circ$: - если $\alpha \in \left(0; 60^\circ\right)$, то $\cos \alpha > \frac{1}{2}$, следовательно, $S'(\alpha) > 0$ (функция возрастает); - если $\alpha \in \left(60^\circ; 90^\circ\right)$, то $\cos \alpha < \frac{1}{2}$, следовательно, $S'(\alpha) < 0$ (функция убывает). Значит, точка $\alpha = 60^\circ$ является точкой максимума функции $S(\alpha)$. Таким образом, угол наклона боковых стенок к горизонтали равен $60^\circ$, а угол между боковыми стенками и дном жёлоба равен: $$180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$$ Ответ: $60^\circ$ (или $120^\circ$ к плоскости дна жёлоба).