ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 895

Область определения функции $f(x) = x \ln x$: $x > 0$. 1. Касательная параллельна оси абсцисс, следовательно, её угловой коэффициент равен нулю: $$ k = f'(x_0) = 0 $$ 2. Найдём производную функции по правилу дифференцирования произведения: $$ f'(x) = (x)' \cdot \ln x + x \cdot (\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1 $$ 3. Приравняем производную к нулю для нахождения абсциссы точки касания $x_0$: $$ \ln x_0 + 1 = 0 $$ $$ \ln x_0 = -1 $$ $$ x_0 = e^{-1} = \frac{1}{e} $$ 4. Найдём ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$: $$ y_0 = f\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{e} \cdot \ln\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{e} \cdot (-1) = -\frac{1}{e} $$ 5. Уравнение касательной имеет вид $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$. Так как $f'(x_0) = 0$, получаем: $$ y = -\frac{1}{e} $$ Прямая $y = -\frac{1}{e}$ параллельна оси абсцисс и лежит ниже неё на расстоянии $\left|-\frac{1}{e}\right| = \frac{1}{e}$. Следовательно, расстояние от начала координат $(0; 0)$ до этой касательной равно: $$ d = |y_0| = \left|-\frac{1}{e}\right| = \frac{1}{e} $$ Ответ: $\frac{1}{e}$