892. Прямая касается гиперболы y = k/x, где k > 0, в точке с абсциссой x₀.
1) Доказать, что площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат, не зависит от положения точки касания. Найти эту площадь.
2) Доказать, что эта касательная проходит через точки (x₀; 2k/x₀) и (2x₀; 0).
ИИ-решебник / упражнение / 892
Ответ подготовлен нейросетью и может содержать ошибки
Объяснение и пошаговое решение
Составим уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{k}{x}$ в точке с абсциссой $x_0$ ($x_0 \neq 0$).
1. Найдём значение функции в точке касания:
$$f(x_0) = \frac{k}{x_0}$$
2. Найдём производную функции $f(x)$:
$$f'(x) = \left( \frac{k}{x} \right)' = -\frac{k}{x^2}$$
3. Найдём угловой коэффициент касательной:
$$f'(x_0) = -\frac{k}{x_0^2}$$
4. Запишем уравнение касательной:
$$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$$
$$y = \frac{k}{x_0} - \frac{k}{x_0^2}(x - x_0)$$
$$y = \frac{k}{x_0} - \frac{k}{x_0^2}x + \frac{k}{x_0}$$
$$y = -\frac{k}{x_0^2}x + \frac{2k}{x_0}$$
---
### 1) Доказательство независимости площади треугольника от точки касания и нахождение площади
Найдём точки пересечения касательной с осями координат:
1. С осью абсцисс $Ox$ ($y = 0$):
$$-\frac{k}{x_0^2}x + \frac{2k}{x_0} = 0$$
$$\frac{k}{x_0^2}x = \frac{2k}{x_0}$$
$$x = \frac{2k}{x_0} \cdot \frac{x_0^2}{k} = 2x_0$$
Точка пересечения с осью $Ox$: $A(2x_0; 0)$.
2. С осью ординат $Oy$ ($x = 0$):
$$y = -\frac{k}{x_0^2} \cdot 0 + \frac{2k}{x_0} = \frac{2k}{x_0}$$
Точка пересечения с осью $Oy$: $B\left( 0; \frac{2k}{x_0} \right)$.
Касательная и оси координат образуют прямоугольный треугольник $AOB$ с прямым углом при начале координат $O(0; 0)$.
Длины катетов треугольника равны расстояниям от начала координат до точек $A$ и $B$:
$$OA = |2x_0| = 2|x_0|$$
$$OB = \left| \frac{2k}{x_0} \right| = \frac{2k}{|x_0|} \quad (\text{так как } k > 0)$$
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$$S = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 2|x_0| \cdot \frac{2k}{|x_0|} = 2k$$
Значение площади равно $2k$, оно зависит только от коэффициента $k$ и не зависит от выбора абсциссы точки касания $x_0$.
Что и требовалось доказать.
**Ответ к пункту 1:** $S = 2k$.
---
### 2) Доказательство прохождения касательной через указанные точки
*(Примечание: в формулировке первой точки содержится опечатка: точка пересечения касательной с осью $Oy$ имеет координаты $\left(0; \frac{2k}{x_0}\right)$)*.
Подставим координаты точек в полученное уравнение касательной $y = -\frac{k}{x_0^2}x + \frac{2k}{x_0}$:
1. Для точки $(2x_0; 0)$:
Подставим $x = 2x_0$:
$$y = -\frac{k}{x_0^2} \cdot (2x_0) + \frac{2k}{x_0} = -\frac{2k}{x_0} + \frac{2k}{x_0} = 0$$
Получили верное равенство $0 = 0$. Значит, касательная проходит через точку $(2x_0; 0)$.
2. Для точки $\left( 0; \frac{2k}{x_0} \right)$:
Подставим $x = 0$:
$$y = -\frac{k}{x_0^2} \cdot 0 + \frac{2k}{x_0} = \frac{2k}{x_0}$$
Получили верное равенство $\frac{2k}{x_0} = \frac{2k}{x_0}$. Значит, касательная проходит через точку $\left( 0; \frac{2k}{x_0} \right)$.
Что и требовалось доказать.
ИИ-решебник / упражнение / 892
