ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 842

**1)** $f(x) = e^x - x$ Найдем производную функции: $$ f'(x) = (e^x - x)' = e^x - 1 $$ Значение производной положительно, если $f'(x) > 0$: $$ e^x - 1 > 0 $$ $$ e^x > 1 $$ Так как $1 = e^0$, получаем: $$ e^x > e^0 \implies x > 0 $$ Ответ: $x > 0$ (или $x \in (0; +\infty)$). --- **2)** $f(x) = x \ln 2 - 2^x$ Найдем производную функции: $$ f'(x) = (x \ln 2)' - (2^x)' = \ln 2 - 2^x \ln 2 = \ln 2 \cdot (1 - 2^x) $$ Значение производной положительно, если $f'(x) > 0$: $$ \ln 2 \cdot (1 - 2^x) > 0 $$ Так как $2 > 1$, то $\ln 2 > 0$. Разделим обе части неравенства на $\ln 2$: $$ 1 - 2^x > 0 $$ $$ 2^x < 1 $$ Так как $1 = 2^0$ и основание степени $2 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ x < 0 $$ Ответ: $x < 0$ (или $x \in (-\infty; 0)$). --- **3)** $f(x) = e^x x^2$ Применим правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$: $$ f'(x) = (e^x)' \cdot x^2 + e^x \cdot (x^2)' = e^x x^2 + e^x \cdot 2x = e^x x (x + 2) $$ Значение производной положительно, если $f'(x) > 0$: $$ e^x x (x + 2) > 0 $$ Поскольку показательная функция $e^x > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$, разделим обе части неравенства на $e^x$: $$ x(x + 2) > 0 $$ Решим неравенство методом интервалов. Нули функции: $x = -2$ и $x = 0$. Знаки на интервалах: - при $x \in (-\infty; -2)$ выражение положительно; - при $x \in (-2; 0)$ выражение отрицательно; - при $x \in (0; +\infty)$ выражение положительно. Получаем: $x < -2$ или $x > 0$. Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$. --- **4)** $f(x) = e^x \sqrt{x}$ Область определения функции $f(x)$: $x \ge 0$. Производная существует при $x > 0$. Найдем производную по правилу дифференцирования произведения: $$ f'(x) = (e^x)' \cdot \sqrt{x} + e^x \cdot (\sqrt{x})' = e^x \sqrt{x} + e^x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = e^x \left(\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}}\right) $$ Приведем выражение в скобках к общему знаменателю: $$ f'(x) = e^x \cdot \frac{2x + 1}{2\sqrt{x}} $$ Выясним, когда $f'(x) > 0$: $$ e^x \cdot \frac{2x + 1}{2\sqrt{x}} > 0 $$ Для любого $x > 0$: - $e^x > 0$; - знаменатель $2\sqrt{x} > 0$; - числитель $2x + 1 > 0$ (так как при $x > 0$ имеем $2x + 1 > 1$). Следовательно, дробь положительна при всех допустимых значениях $x > 0$. Ответ: $x > 0$ (или $x \in (0; +\infty)$).