ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 840

1) $f(x) = e^{2x - 4} + 2 \ln x$, $x_0 = 2$. Найдем производную функции по правилам дифференцирования суммы и сложной функции: $$ f'(x) = (e^{2x - 4})' + (2 \ln x)' = e^{2x - 4} \cdot (2x - 4)' + 2 \cdot \frac{1}{x} = 2e^{2x - 4} + \frac{2}{x} $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$: $$ f'(2) = 2e^{2 \cdot 2 - 4} + \frac{2}{2} = 2e^0 + 1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3 $$ Ответ: $3$. --- 2) $f(x) = e^{3x - 2} - \ln(3x - 1)$, $x_0 = \frac{2}{3}$. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (e^{3x - 2})' - (\ln(3x - 1))' = e^{3x - 2} \cdot (3x - 2)' - \frac{1}{3x - 1} \cdot (3x - 1)' = 3e^{3x - 2} - \frac{3}{3x - 1} $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{2}{3}$: $$ f'\left(\frac{2}{3}\right) = 3e^{3 \cdot \frac{2}{3} - 2} - \frac{3}{3 \cdot \frac{2}{3} - 1} = 3e^{2 - 2} - \frac{3}{2 - 1} = 3e^0 - \frac{3}{1} = 3 - 3 = 0 $$ Ответ: $0$. --- 3) $f(x) = 2^x - \log_2 x$, $x_0 = 1$. Используем формулы производных показательной функции $(a^x)' = a^x \ln a$ и логарифмической функции $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$: $$ f'(x) = (2^x)' - (\log_2 x)' = 2^x \ln 2 - \frac{1}{x \ln 2} $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$: $$ f'(1) = 2^1 \ln 2 - \frac{1}{1 \cdot \ln 2} = 2 \ln 2 - \frac{1}{\ln 2} $$ Ответ: $2 \ln 2 - \frac{1}{\ln 2}$. --- 4) $f(x) = \log_{0,5} x - 3^x$, $x_0 = 1$. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (\log_{0,5} x)' - (3^x)' = \frac{1}{x \ln 0,5} - 3^x \ln 3 $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$: $$ f'(1) = \frac{1}{1 \cdot \ln 0,5} - 3^1 \ln 3 = \frac{1}{\ln 0,5} - 3 \ln 3 $$ Учитывая, что $\ln 0,5 = \ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln(2^{-1}) = -\ln 2$, преобразуем полученное выражение: $$ f'(1) = -\frac{1}{\ln 2} - 3 \ln 3 $$ Ответ: $-\frac{1}{\ln 2} - 3 \ln 3$.