ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 83

1) Упростим выражение: $$(a^{1+\sqrt{2}})^{1-\sqrt{2}}$$ При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^x)^y = a^{xy}$. Используем формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$: $$(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2}) = 1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1$$ Получаем: $$a^{-1} = \frac{1}{a}$$ Ответ: $\frac{1}{a}$. --- 2) Упростим выражение: $$\left(m^{\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}}\right)^{-3} \cdot m^{\frac{3\sqrt{5}}{2}}$$ Сначала упростим показатель степени в скобках, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на $(1-\sqrt{5})$: $$\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} = \frac{(1-\sqrt{5})(1-\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})} = \frac{1 - 2\sqrt{5} + 5}{1^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{1 - 5} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{-4}$$ Разделим числитель и знаменатель на $-2$: $$\frac{6 - 2\sqrt{5}}{-4} = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5}-3}{2}$$ Перемножим показатели при возведении в степень: $$\frac{\sqrt{5}-3}{2} \cdot (-3) = \frac{-3\sqrt{5} + 9}{2} = \frac{9 - 3\sqrt{5}}{2}$$ Теперь перемножим степени с одинаковым основанием $m$, складывая их показатели: $$m^{\frac{9-3\sqrt{5}}{2}} \cdot m^{\frac{3\sqrt{5}}{2}} = m^{\frac{9-3\sqrt{5}}{2} + \frac{3\sqrt{5}}{2}} = m^{\frac{9 - 3\sqrt{5} + 3\sqrt{5}}{2}} = m^{\frac{9}{2}}$$ Запишем результат в виде корня: $$m^{\frac{9}{2}} = \sqrt{m^9} = m^4\sqrt{m}$$ Ответ: $m^{\frac{9}{2}}$ (или $m^4\sqrt{m}$). --- 3) Упростим выражение: $$(a^{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}})^{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}$$ При возведении степени в степень показатели перемножаются: $$(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9})$$ Заметим, что $\sqrt[3]{4} = (\sqrt[3]{2})^2$, $\sqrt[3]{6} = \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{3}$, а $\sqrt[3]{9} = (\sqrt[3]{3})^2$. Применим формулу суммы кубов $(x+y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$, где $x = \sqrt[3]{2}$, $y = \sqrt[3]{3}$: $$(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3})((\sqrt[3]{2})^2 - \sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{3} + (\sqrt[3]{3})^2) = (\sqrt[3]{2})^3 + (\sqrt[3]{3})^3 = 2 + 3 = 5$$ Таким образом: $$a^5$$ Ответ: $a^5$. --- 4) Упростим выражение: $$(a^{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1})^{1-\sqrt[3]{3}}$$ Перемножим показатели степеней: $$(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1)(1-\sqrt[3]{3}) = (1-\sqrt[3]{3})(1 + \sqrt[3]{3} + (\sqrt[3]{3})^2)$$ Применим формулу разности кубов $(1-y)(1 + y + y^2) = 1^3 - y^3$, где $y = \sqrt[3]{3}$: $$(1-\sqrt[3]{3})(1 + \sqrt[3]{3} + (\sqrt[3]{3})^2) = 1^3 - (\sqrt[3]{3})^3 = 1 - 3 = -2$$ Получаем: $$a^{-2} = \frac{1}{a^2}$$ Ответ: $\frac{1}{a^2}$.