ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 80

1) Упростим выражение $a^{\frac{1}{9}} \sqrt[6]{a^3 \sqrt[3]{a}}$: Перейдем к степеням с рациональным показателем (при $a > 0$): Представим выражение под внешним корнем в виде степени: $$ a^3 \sqrt[3]{a} = a^3 \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{3 + \frac{1}{3}} = a^{\frac{10}{3}} $$ Извлечем корень шестой степени: $$ \sqrt[6]{a^3 \sqrt[3]{a}} = \sqrt[6]{a^{\frac{10}{3}}} = \left(a^{\frac{10}{3}}\right)^{\frac{1}{6}} = a^{\frac{10}{18}} = a^{\frac{5}{9}} $$ Выполним умножение степеней с одинаковым основанием: $$ a^{\frac{1}{9}} \cdot a^{\frac{5}{9}} = a^{\frac{1}{9} + \frac{5}{9}} = a^{\frac{6}{9}} = a^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{a^2} $$ Ответ: $a^{\frac{2}{3}}$ (или $\sqrt[3]{a^2}$). 2) Упростим выражение $b^{\frac{1}{12}} \sqrt[3]{b^4 \sqrt[4]{b}}$: Перейдем к степеням с рациональным показателем (при $b > 0$): Преобразуем выражение под кубическим корнем: $$ b^4 \sqrt[4]{b} = b^4 \cdot b^{\frac{1}{4}} = b^{4 + \frac{1}{4}} = b^{\frac{17}{4}} $$ Извлечем корень третьей степени: $$ \sqrt[3]{b^4 \sqrt[4]{b}} = \sqrt[3]{b^{\frac{17}{4}}} = \left(b^{\frac{17}{4}}\right)^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{17}{12}} $$ Перемножим степени с одинаковым основанием: $$ b^{\frac{1}{12}} \cdot b^{\frac{17}{12}} = b^{\frac{1}{12} + \frac{17}{12}} = b^{\frac{18}{12}} = b^{\frac{3}{2}} = \sqrt{b^3} = b\sqrt{b} $$ Ответ: $b^{\frac{3}{2}}$ (или $b\sqrt{b}$). 3) Упростим выражение $\left( \sqrt[3]{ab^{-2}} + (ab)^{-\frac{1}{6}} \right) \sqrt[6]{ab^4}$: Запишем все множители через степени с рациональными показателями (при $a > 0$, $b > 0$): $$ \sqrt[3]{ab^{-2}} = \left(a b^{-2}\right)^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}} b^{-\frac{2}{3}} $$ $$ (ab)^{-\frac{1}{6}} = a^{-\frac{1}{6}} b^{-\frac{1}{6}} $$ $$ \sqrt[6]{ab^4} = \left(a b^4\right)^{\frac{1}{6}} = a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{4}{6}} = a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{2}{3}} $$ Раскроем скобки, перемножив каждое слагаемое на множитель за скобками: $$ \left(a^{\frac{1}{3}} b^{-\frac{2}{3}} + a^{-\frac{1}{6}} b^{-\frac{1}{6}}\right) \cdot a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{1}{3}} b^{-\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{2}{3}} + a^{-\frac{1}{6}} b^{-\frac{1}{6}} \cdot a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{2}{3}} $$ Применим свойство умножения степеней с одинаковыми основаниями: $$ a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}} b^{-\frac{2}{3} + \frac{2}{3}} + a^{-\frac{1}{6} + \frac{1}{6}} b^{-\frac{1}{6} + \frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{6} + \frac{1}{6}} b^0 + a^0 b^{-\frac{1}{6} + \frac{4}{6}} = a^{\frac{3}{6}} \cdot 1 + 1 \cdot b^{\frac{3}{6}} = a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $$ Ответ: $a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}$ (или $\sqrt{a} + \sqrt{b}$). 4) Упростим выражение $(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) \left( a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{ab} \right)$: Перепишем выражение, представив корни в виде степеней с показателем $\frac{1}{3}$: $$ \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}, \quad \sqrt[3]{b} = b^{\frac{1}{3}}, \quad \sqrt[3]{ab} = a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} $$ Тогда выражение примет вид: $$ \left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right) \left(\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^2 - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^2\right) $$ Применим формулу суммы кубов $(x + y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$ для $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = b^{\frac{1}{3}}$: $$ \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^3 + \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^3 = a + b $$ Ответ: $a + b$.