ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 82

1) Упростим выражение $\frac{m^{\sqrt{3}} \cdot n^{\sqrt{3}}}{(mn)^{2+\sqrt{3}}}$. Используем свойство степени произведения $a^r \cdot b^r = (ab)^r$ для числителя: $$ m^{\sqrt{3}} \cdot n^{\sqrt{3}} = (mn)^{\sqrt{3}} $$ При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $$ \frac{(mn)^{\sqrt{3}}}{(mn)^{2+\sqrt{3}}} = (mn)^{\sqrt{3} - (2+\sqrt{3})} = (mn)^{\sqrt{3} - 2 - \sqrt{3}} = (mn)^{-2} = \frac{1}{(mn)^2} = \frac{1}{m^2 n^2} $$ Ответ: $\frac{1}{m^2 n^2}$ (или $\frac{1}{(mn)^2}$). --- 2) Упростим выражение $\frac{x^{\sqrt{7}} \cdot y^{\sqrt{7}+1}}{(xy)^{\sqrt{7}}}$. Раскроем скобки в знаменателе по свойству степени произведения $(xy)^{\sqrt{7}} = x^{\sqrt{7}} \cdot y^{\sqrt{7}}$, а в числителе применим свойство $y^{\sqrt{7}+1} = y^{\sqrt{7}} \cdot y^1$: $$ \frac{x^{\sqrt{7}} \cdot y^{\sqrt{7}+1}}{(xy)^{\sqrt{7}}} = \frac{x^{\sqrt{7}} \cdot y^{\sqrt{7}} \cdot y}{x^{\sqrt{7}} \cdot y^{\sqrt{7}}} $$ Сократив одинаковые множители в числителе и знаменателе, получаем: $$ y $$ Ответ: $y$. --- 3) Упростим выражение $(a^{\sqrt{2}} - b^{\sqrt{3}}) \left(a^{\sqrt{2}} + b^{\sqrt{3}}\right)$. Применим формулу разности квадратов $(u - v)(u + v) = u^2 - v^2$ и свойство возведения степени в степень $(u^p)^q = u^{p \cdot q}$: $$ (a^{\sqrt{2}} - b^{\sqrt{3}}) \left(a^{\sqrt{2}} + b^{\sqrt{3}}\right) = \left(a^{\sqrt{2}}\right)^2 - \left(b^{\sqrt{3}}\right)^2 = a^{2\sqrt{2}} - b^{2\sqrt{3}} $$ Ответ: $a^{2\sqrt{2}} - b^{2\sqrt{3}}$. --- 4) Упростим выражение $\left( 2a^{-0,5} - \frac{1}{3} b^{-\sqrt{3}} \right) \left( \frac{1}{3} b^{-\sqrt{3}} + 2a^{-0,5} \right)$. От перестановки мест слагаемых сумма не меняется, поэтому перепишем вторую скобку: $$ \left( \frac{1}{3} b^{-\sqrt{3}} + 2a^{-0,5} \right) = \left( 2a^{-0,5} + \frac{1}{3} b^{-\sqrt{3}} \right) $$ Применим формулу разности квадратов: $$ \left( 2a^{-0,5} - \frac{1}{3} b^{-\sqrt{3}} \right) \left( 2a^{-0,5} + \frac{1}{3} b^{-\sqrt{3}} \right) = \left( 2a^{-0,5} \right)^2 - \left( \frac{1}{3} b^{-\sqrt{3}} \right)^2 $$ Возведём каждый множитель в квадрат: $$ 2^2 \cdot \left(a^{-0,5}\right)^2 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(b^{-\sqrt{3}}\right)^2 = 4a^{-0,5 \cdot 2} - \frac{1}{9}b^{-2\sqrt{3}} = 4a^{-1} - \frac{1}{9}b^{-2\sqrt{3}} $$ Запишем степени с отрицательными показателями в виде дробей: $$ \frac{4}{a} - \frac{1}{9b^{2\sqrt{3}}} $$ Ответ: $4a^{-1} - \frac{1}{9}b^{-2\sqrt{3}}$ (или $\frac{4}{a} - \frac{1}{9b^{2\sqrt{3}}}$).