ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 684

Решим тригонометрическое уравнение: $$ |\cos x| - \cos 3x = \sin 2x $$ Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $\cos x$. --- ### Случай 1: $\cos x \ge 0$ В этом случае $|\cos x| = \cos x$. Уравнение принимает вид: $$ \cos x - \cos 3x = \sin 2x $$ Применим формулу разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\beta - \alpha}{2}$: $$ 2\sin \frac{x + 3x}{2} \sin \frac{3x - x}{2} = \sin 2x $$ $$ 2\sin 2x \sin x = \sin 2x $$ Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель $\sin 2x$: $$ 2\sin 2x \sin x - \sin 2x = 0 $$ $$ \sin 2x(2\sin x - 1) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\sin 2x = 0$ Распишем по формуле синуса двойного угла: $2\sin x \cos x = 0$. - Если $\cos x = 0$, то условие $\cos x \ge 0$ выполняется: $$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ - Если $\sin x = 0$, то $x = \pi m, m \in \mathbb{Z}$. С учетом условия $\cos x \ge 0$, косинус неотрицателен только при четных $m = 2k$: $$ x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $2\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}$ Корни этого уравнения: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Проверим условие $\cos x \ge 0$: - Для $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$: $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$ — подходит. - Для $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$: $\cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$ — не подходит. --- ### Случай 2: $\cos x < 0$ В этом случае $|\cos x| = -\cos x$. Уравнение принимает вид: $$ -\cos x - \cos 3x = \sin 2x $$ $$ -(\cos 3x + \cos x) = \sin 2x $$ Применим формулу суммы косинусов $\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$: $$ -2\cos 2x \cos x = 2\sin x \cos x $$ Перенесем все слагаемые в одну сторону: $$ 2\sin x \cos x + 2\cos 2x \cos x = 0 $$ $$ 2\cos x(\sin x + \cos 2x) = 0 $$ Так как в данном случае $\cos x < 0$ (в частности, $\cos x \neq 0$), разделим обе части уравнения на $2\cos x$: $$ \sin x + \cos 2x = 0 $$ Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$: $$ \sin x + 1 - 2\sin^2 x = 0 $$ $$ 2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0 $$ Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$: $$ 2t^2 - t - 1 = 0 $$ $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 $$ $$ t_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1, \quad t_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2} $$ Вернемся к замене: 1) $\sin x = 1 \implies \cos x = 0$, что противоречит условию $\cos x < 0$. Корней нет. 2) $\sin x = -\frac{1}{2}$ Корни этого уравнения: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Проверим условие $\cos x < 0$: - Для $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$: $\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$ — не подходит. - Для $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$: $\cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$ — подходит. --- ### Объединение результатов Из двух случаев получаем серии решений: 1) $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ 2) $x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ 3) $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{6} + \pi(2k - 1), \quad k \in \mathbb{Z}$ Серии $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ (при четном числе $\pi$) и $x = \frac{\pi}{6} + \pi(2k-1)$ (при нечетном числе $\pi$) объединяются в одну серию: $$ x = \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$; $x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.