ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 682

Решим тригонометрическое уравнение: $$ \cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x = \frac{3}{2} $$ Применим формулу понижения степени $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$ к каждому слагаемому в левой части уравнения: $$ \frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos 4x}{2} + \frac{1 + \cos 6x}{2} = \frac{3}{2} $$ Умножим обе части уравнения на $2$: $$ (1 + \cos 2x) + (1 + \cos 4x) + (1 + \cos 6x) = 3 $$ $$ 3 + \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = 3 $$ Вычтем $3$ из обеих частей: $$ \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = 0 $$ Сгруппируем крайние слагаемые: $$ (\cos 6x + \cos 2x) + \cos 4x = 0 $$ Применим формулу суммы косинусов $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$: $$ 2 \cos \frac{6x + 2x}{2} \cos \frac{6x - 2x}{2} + \cos 4x = 0 $$ $$ 2 \cos 4x \cos 2x + \cos 4x = 0 $$ Вынесем общий множитель $\cos 4x$ за скобки: $$ \cos 4x (2 \cos 2x + 1) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\cos 4x = 0$ $$ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $2 \cos 2x + 1 = 0$ $$ \cos 2x = -\frac{1}{2} $$ $$ 2x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ 2x = \pm \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ 2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, \; k \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$.