ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 687

Преобразуем выражение в левой части уравнения, выделив полный квадрат: $$ \sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x $$ Так как по основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, а по формуле синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin 2x$, получаем: $$ \sin^4 x + \cos^4 x = 1^2 - \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x $$ Используем формулу понижения степени $\sin^2 2x = \frac{1 - \cos 4x}{2}$: $$ 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \cos 4x}{2} = 1 - \frac{1 - \cos 4x}{4} = \frac{4 - 1 + \cos 4x}{4} = \frac{3 + \cos 4x}{4} $$ Исходное уравнение принимает вид: $$ \frac{3 + \cos 4x}{4} = a $$ $$ 3 + \cos 4x = 4a $$ $$ \cos 4x = 4a - 3 $$ Уравнение вида $\cos t = b$ имеет решения тогда и только тогда, когда $-1 \le b \le 1$. Значит: $$ -1 \le 4a - 3 \le 1 $$ Прибавим $3$ ко всем частям двойного неравенства: $$ 2 \le 4a \le 4 $$ Разделим все части на $4$: $$ \frac{1}{2} \le a \le 1 $$ Таким образом, уравнение имеет корни при $a \in \left[\frac{1}{2}; 1\right]$. Найдем эти корни: $$ \cos 4x = 4a - 3 $$ $$ 4x = \pm \arccos(4a - 3) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \pm \frac{1}{4}\arccos(4a - 3) + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: уравнение имеет корни при $a \in \left[\frac{1}{2}; 1\right]$; корни уравнения: $x = \pm \frac{1}{4}\arccos(4a - 3) + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$.