ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 671

**1)** Решим уравнение: $$\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 1 + \cos 2x$$ Преобразуем левую часть уравнения, применив формулы синуса и косинуса суммы: $$\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \sin x \cos\frac{\pi}{6} + \cos x \sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x$$ $$\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \cos x \cos\frac{\pi}{3} - \sin x \sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x$$ Сложим полученные выражения: $$\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x\right) + \left(\frac{1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x\right) = \cos x$$ В правой части используем формулу косинуса двойного угла $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$. Подставим полученные выражения в исходное уравнение: $$\cos x = 2\cos^2 x$$ Перенесём все слагаемые в одну сторону и разложим на множители: $$2\cos^2 x - \cos x = 0$$ $$\cos x(2\cos x - 1) = 0$$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\cos x = 0$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ 2) $2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2}$ $$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$. --- **2)** Решим уравнение: $$\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \sin 2x$$ Преобразуем левую часть уравнения, применив формулы синуса и косинуса разности: $$\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \sin x \cos\frac{\pi}{4} - \cos x \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x$$ $$\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \cos x \cos\frac{\pi}{4} + \sin x \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x$$ Сложим полученные выражения: $$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right) = \sqrt{2}\sin x$$ В правой части применим формулу синуса двойного угла: $$\sin 2x = 2\sin x \cos x$$ Подставим полученные выражения в уравнение: $$\sqrt{2}\sin x = 2\sin x \cos x$$ Перенесём слагаемые в одну сторону и вынесем общий множитель за скобки: $$2\sin x \cos x - \sqrt{2}\sin x = 0$$ $$\sin x (2\cos x - \sqrt{2}) = 0$$ Приравняем каждый множитель к нулю: 1) $\sin x = 0$ $$x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ 2) $2\cos x - \sqrt{2} = 0 \implies \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ Ответ: $x = \pi k, \quad x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.