ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 668

**1)** Решим уравнение: $$ \sin 2x + 2 \cos 2x = 1 $$ Применим формулы двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ и представим единицу через основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$: $$ 2 \sin x \cos x + 2(\cos^2 x - \sin^2 x) = \sin^2 x + \cos^2 x $$ Раскроем скобки и перенесём все слагаемые в левую часть: $$ 2 \sin x \cos x + 2 \cos^2 x - 2 \sin^2 x - \sin^2 x - \cos^2 x = 0 $$ Приведём подобные слагаемые: $$ -3 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 0 $$ Умножим обе части уравнения на $-1$: $$ 3 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x - \cos^2 x = 0 $$ Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Если $\cos x = 0$, то из уравнения следует $3 \sin^2 x = 0$, то есть $\sin x = 0$, что невозможно, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Значит, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$: $$ 3 \operatorname{tg}^2 x - 2 \operatorname{tg} x - 1 = 0 $$ Пусть $t = \operatorname{tg} x$. Получаем квадратное уравнение: $$ 3t^2 - 2t - 1 = 0 $$ Найдём корни уравнения: Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$. $$ t_1 = \frac{2 + 4}{6} = 1, \quad t_2 = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{1}{3} $$ Вернёмся к переменной $x$: 1) $\operatorname{tg} x = 1$ $$ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $\operatorname{tg} x = -\frac{1}{3}$ $$ x = \operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi n = -\operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$; $x = -\operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$. --- **2)** Решим уравнение: $$ \cos 2x + 3 \sin 2x = 3 $$ Используем формулы двойного угла $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$, $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, а число $3$ представим как $3(\sin^2 x + \cos^2 x)$: $$ \cos^2 x - \sin^2 x + 3 \cdot 2 \sin x \cos x = 3(\sin^2 x + \cos^2 x) $$ Раскроем скобки: $$ \cos^2 x - \sin^2 x + 6 \sin x \cos x = 3 \sin^2 x + 3 \cos^2 x $$ Перенесём все слагаемые в правую часть: $$ 3 \sin^2 x + \sin^2 x - 6 \sin x \cos x + 3 \cos^2 x - \cos^2 x = 0 $$ $$ 4 \sin^2 x - 6 \sin x \cos x + 2 \cos^2 x = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$ 2 \sin^2 x - 3 \sin x \cos x + \cos^2 x = 0 $$ Так как $\cos x \neq 0$ (при $\cos x = 0$ получили бы $2 \sin^2 x = 0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству), разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$: $$ 2 \operatorname{tg}^2 x - 3 \operatorname{tg} x + 1 = 0 $$ Сделаем замену $t = \operatorname{tg} x$: $$ 2t^2 - 3t + 1 = 0 $$ Найдём корни через дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$. $$ t_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1, \quad t_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2} $$ Вернёмся к переменной $x$: 1) $\operatorname{tg} x = 1$ $$ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $\operatorname{tg} x = \frac{1}{2}$ $$ x = \operatorname{arctg} \frac{1}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$; $x = \operatorname{arctg} \frac{1}{2} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$.