ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 670

**1)** Решим уравнение: $$ 1 + 2 \sin x = \sin 2x + 2 \cos x $$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$ 1 - \sin 2x + 2 \sin x - 2 \cos x = 0 $$ Используем основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$: $$ 1 - \sin 2x = \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = (\sin x - \cos x)^2 $$ Подставим это выражение в уравнение: $$ (\sin x - \cos x)^2 + 2(\sin x - \cos x) = 0 $$ Вынесем общий множитель $(\sin x - \cos x)$ за скобки: $$ (\sin x - \cos x)(\sin x - \cos x + 2) = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\sin x - \cos x = 0$ Так как при $\cos x = 0$ значение $\sin x$ не может быть равно нулю в силу тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, разделим обе части уравнения на $\cos x \neq 0$: $$ \operatorname{tg} x - 1 = 0 $$ $$ \operatorname{tg} x = 1 $$ $$ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $\sin x - \cos x + 2 = 0$ $$ \sin x - \cos x = -2 $$ Применим метод вспомогательного угла, разделив обе части уравнения на $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$: $$ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = -\frac{2}{\sqrt{2}} $$ $$ \sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2} $$ Так как $-\sqrt{2} < -1$, а область значений функции синус $[-1; 1]$, данное уравнение не имеет действительных корней. **Ответ:** $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. --- **2)** Решим уравнение: $$ 1 + 3 \cos x = \sin 2x + 3 \sin x $$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$ 1 - \sin 2x + 3 \cos x - 3 \sin x = 0 $$ Представим $1 - \sin 2x$ как квадрат разности: $$ 1 - \sin 2x = \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = (\cos x - \sin x)^2 $$ Тогда уравнение принимает вид: $$ (\cos x - \sin x)^2 + 3(\cos x - \sin x) = 0 $$ Вынесем общий множитель $(\cos x - \sin x)$ за скобки: $$ (\cos x - \sin x)(\cos x - \sin x + 3) = 0 $$ Приравняем каждый множитель к нулю: 1) $\cos x - \sin x = 0$ Разделим обе части на $\cos x \neq 0$: $$ 1 - \operatorname{tg} x = 0 $$ $$ \operatorname{tg} x = 1 $$ $$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ 2) $\cos x - \sin x + 3 = 0$ $$ \cos x - \sin x = -3 $$ Преобразуем левую часть с помощью метода вспомогательного угла: $$ \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x\right) = -3 $$ $$ \cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{3}{\sqrt{2}} $$ Поскольку $-\frac{3}{\sqrt{2}} < -1$, а косинус принимает значения только на отрезке $[-1; 1]$, это уравнение корней не имеет. **Ответ:** $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.