ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 63

### Ответ **По учебнику Ш. А. Алимова (№ 63):** 1. $x^{\frac{1}{2}} + x = x^{\frac{1}{2}}\left(1 + x^{\frac{1}{2}}\right)$ 2. $(ab)^{\frac{1}{3}} + (ac)^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}\left(b^{\frac{1}{3}} + c^{\frac{1}{3}}\right)$ 3. $y^{\frac{3}{4}} - y^{\frac{1}{3}} = y^{\frac{1}{3}}\left(y^{\frac{5}{12}} - 1\right)$ 4. $12xy^{\frac{1}{2}} - 3x^2y = 3xy^{\frac{1}{2}}\left(4 - xy^{\frac{1}{2}}\right)$ *(Если в тексте задания пункты записаны буквально без дробных показателей в 3 и 4: 1) $\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}} + x = x^{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2} + x^{\frac{1}{2}}\right)$; 3) $y^4 - y^3 = y^3(y - 1)$; 4) $12xy^2 - 3x^2y = 3xy(4y - x)$).* --- ### Подробное объяснение Чтобы вынести общий множитель за скобки в выражениях со степенями: 1. Находим общий числовой множитель (наибольший общий делитель коэффициентов). 2. Для каждой переменной выбираем **наименьший показатель степени**, встречающийся в слагаемых. 3. При вынесении множителя за скобки показатели степеней внутри скобок уменьшаются на показатель вынесенной степени (так как $a^m : a^n = a^{m-n}$). --- #### 1) $x^{\frac{1}{2}} + x$ * Запишем $x$ как степень: $x = x^1 = x^{\frac{2}{2}}$. * Сравниваем показатели: $\frac{1}{2} < 1$. Наименьший показатель равен $\frac{1}{2}$, значит, общий множитель — $x^{\frac{1}{2}}$. * Вычитаем показатель степени: $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. $$x^{\frac{1}{2}} + x = x^{\frac{1}{2}}\left(1 + x^{1 - \frac{1}{2}}\right) = x^{\frac{1}{2}}\left(1 + x^{\frac{1}{2}}\right)$$ *(Примечание: если перед первым слагаемым стоит коэффициент $\frac{1}{2}$, то получаем: $\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}} + x = x^{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2} + x^{\frac{1}{2}}\right)$).* --- #### 2) $(ab)^{\frac{1}{3}} + (ac)^{\frac{1}{3}}$ * Применим свойство степени произведения $(xy)^n = x^n y^n$: $$(ab)^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}, \quad (ac)^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}} c^{\frac{1}{3}}$$ * Общим множителем для обоих слагаемых является $a^{\frac{1}{3}}$. Вынесем его за скобки: $$(ab)^{\frac{1}{3}} + (ac)^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}} c^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}\left(b^{\frac{1}{3}} + c^{\frac{1}{3}}\right)$$ --- #### 3) $y^{\frac{3}{4}} - y^{\frac{1}{3}}$ *(в оригинале учебника)* * Приведем показатели степеней к общему знаменателю: $$\frac{3}{4} = \frac{9}{12}, \quad \frac{1}{3} = \frac{4}{12}$$ * Так как $\frac{4}{12} < \frac{9}{12}$, наименьший показатель — $\frac{1}{3}$. Выносим за скобки $y^{\frac{1}{3}}$: * Показатель оставшейся степени: $$\frac{3}{4} - \frac{1}{3} = \frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12}$$ $$y^{\frac{3}{4}} - y^{\frac{1}{3}} = y^{\frac{1}{3}}\left(y^{\frac{5}{12}} - 1\right)$$ *(Если в условии задано целое выражение $y^4 - y^3$: наименьшая степень — $y^3$, получаем $y^4 - y^3 = y^3(y - 1)$).* --- #### 4) $12xy^{\frac{1}{2}} - 3x^2y$ *(в оригинале учебника)* * Находим общий числовой множитель для $12$ и $3$: это $3$. * Для переменной $x$: степени $1$ и $2$, наименьшая — $x^1 = x$. * Для переменной $y$: степени $\frac{1}{2}$ и $1$, наименьшая — $y^{\frac{1}{2}}$. * Общий множитель равен $3xy^{\frac{1}{2}}$. * Делим каждое слагаемое на вынесенный множитель: * $\dfrac{12xy^{\frac{1}{2}}}{3xy^{\frac{1}{2}}} = 4$ * $\dfrac{3x^2y}{3xy^{\frac{1}{2}}} = x^{2-1} \cdot y^{1 - \frac{1}{2}} = xy^{\frac{1}{2}}$ $$12xy^{\frac{1}{2}} - 3x^2y = 3xy^{\frac{1}{2}}\left(4 - xy^{\frac{1}{2}}\right)$$ *(Если в условии задано выражение с целыми степенями $12xy^2 - 3x^2y$: общий множитель равен $3xy$, получаем $12xy^2 - 3x^2y = 3xy(4y - x)$).*